Pensieve header: Demos for my Oberwolfach-1405 talk.
The .nb (source) file is at http://drorbn.net/AcademicPensieve/2014-05/GoodFormulas/.

SetDirectory["C:/drorbn/AcademicPensieve/2014-05/GoodFormulas/"]

<< KnotTheory`

ΓCollect[Γ[ω_, λ_]] := Γ[Factor[ω],
Collect[λ, (Subscript[h, _]), Collect[#,(Subscript[t, _]), Factor]&]];
Format[Γ[ω_,λ_]] := Module[{S, M},
S = Union@Cases[Γ[ω,λ], (Subscript[(h|t), a_]) :> a, ∞];
M = Outer[Factor[(∂_((Subscript[h, #1]),(Subscript[t, #2])))λ]&, S, S];
M = Prepend[M, (Subscript[t, #])& /@ S] // Transpose;
M = Prepend[M, Prepend[(Subscript[h, #])& /@ S, ω]];
M // MatrixForm];

Γ /: Γ[ω1_, λ1_]Γ[ω2_, λ2_] := Γ[ω1*ω2, λ1+λ2];
(Subscript[m, a_,b_->c_])[Γ[ω_, λ_]] := Module[{α,β,γ,δ,θ,ϵ,ϕ,ψ,Ξ,μ},
(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}}))=(({{(∂_((Subscript[t, a]),(Subscript[h, a])))λ, (∂_((Subscript[t, a]),(Subscript[h, b])))λ, (∂_(Subscript[t, a]))λ}, {(∂_((Subscript[t, b]),(Subscript[h, a])))λ, (∂_((Subscript[t, b]),(Subscript[h, b])))λ, (∂_(Subscript[t, b]))λ}, {(∂_(Subscript[h, a]))λ, (∂_(Subscript[h, b]))λ, λ}}))/.(Subscript[(t|h), a|b])->0;
Γ[(μ=1-β)ω, {(Subscript[t, c]),1}.(({{γ+α δ/μ, ϵ+δ θ/μ}, {ϕ+α ψ/μ, Ξ+ψ θ/μ}})).{(Subscript[h, c]),1}]
/. {(Subscript[T, a])->(Subscript[T, c]), (Subscript[T, b])->(Subscript[T, c])} // ΓCollect];
(Subscript[Rp, a_,b_]) := Γ[1, {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b])}.(({{1, 1-(Subscript[T, a])}, {0, (Subscript[T, a])}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b])}];
(Subscript[Rm, a_,b_]) := (Subscript[Rp, a,b]) /. (Subscript[T, a])->1/(Subscript[T, a]);

γ=Γ[ω, (({{(Subscript[t, 1]), (Subscript[t, 2]), (Subscript[t, 3]), (Subscript[t, S])}})).(({{(Subscript[α, 11]), (Subscript[α, 12]), (Subscript[α, 13]), (Subscript[θ, 1])}, {(Subscript[α, 21]), (Subscript[α, 22]), (Subscript[α, 23]), (Subscript[θ, 2])}, {(Subscript[α, 31]), (Subscript[α, 32]), (Subscript[α, 33]), (Subscript[θ, 3])}, {(Subscript[ϕ, 1]), (Subscript[ϕ, 2]), (Subscript[ϕ, 3]), Ξ}})).(({{(Subscript[h, 1])}, {(Subscript[h, 2])}, {(Subscript[h, 3])}, {(Subscript[h, S])}})) // Total // Total]

γ//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1])

γ//(Subscript[m, 2,3->2])//(Subscript[m, 1,2->1])

γ=Γ[ω, {(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3]),(Subscript[t, S])}.(({{(Subscript[α, 11]), (Subscript[α, 12]), (Subscript[α, 13]), (Subscript[θ, 1])}, {(Subscript[α, 21]), (Subscript[α, 22]), (Subscript[α, 23]), (Subscript[θ, 2])}, {(Subscript[α, 31]), (Subscript[α, 32]), (Subscript[α, 33]), (Subscript[θ, 3])}, {(Subscript[ϕ, 1]), (Subscript[ϕ, 2]), (Subscript[ϕ, 3]), Ξ}})).{(Subscript[h, 1]),(Subscript[h, 2]),(Subscript[h, 3]),(Subscript[h, S])}];
(γ//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))==(γ//(Subscript[m, 2,3->2])//(Subscript[m, 1,2->1]))

{(Subscript[Rm, 5,1])(Subscript[Rm, 6,2])(Subscript[Rp, 3,4])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3]),
 (Subscript[Rp, 6,1])(Subscript[Rm, 2,4])(Subscript[Rm, 3,5])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3])}

γ=(Subscript[Rm, 12,1])(Subscript[Rm, 2,7])(Subscript[Rm, 8,3])(Subscript[Rm, 4,11])(Subscript[Rp, 16,5])(Subscript[Rp, 6,13])(Subscript[Rp, 14,9])(Subscript[Rp, 10,15])

Do[γ = γ // (Subscript[m, 1,k->1]), {k,2,10}]; γ

γ=(Subscript[Rm, 12,1])(Subscript[Rm, 2,7])(Subscript[Rm, 8,3])(Subscript[Rm, 4,11])(Subscript[Rp, 16,5])(Subscript[Rp, 6,13])(Subscript[Rp, 14,9])(Subscript[Rp, 10,15]);
Do[γ = γ // (Subscript[m, 1,k->1]), {k,2,16}]; γ

γ=(Subscript[Rm, 1,6])(Subscript[Rp, 7,4])(Subscript[Rp, 5,2])(Subscript[Rm, 8,11])(Subscript[Rp, 12,9])(Subscript[Rp, 10,3])

γ//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 1,6->1])//(Subscript[m, 2,7->2])//(Subscript[m, 2,8->2])//(Subscript[m, 2,9->2])//(Subscript[m, 2,10->2])//(Subscript[m, 2,11->2])//(Subscript[m, 3,12->3])

γ=(Subscript[Rp, 1,6])(Subscript[Rm, 7,4])(Subscript[Rm, 5,2])(Subscript[Rp, 8,11])(Subscript[Rm, 12,9])(Subscript[Rm, 10,3]);
γ//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 1,6->1])//(Subscript[m, 2,7->2])//(Subscript[m, 2,8->2])//(Subscript[m, 2,9->2])//(Subscript[m, 2,10->2])//(Subscript[m, 2,11->2])//(Subscript[m, 3,12->3])

γ=(Subscript[Rm, 1,6])(Subscript[Rp, 7,4])(Subscript[Rp, 5,2])(Subscript[Rm, 8,11])(Subscript[Rp, 12,9])(Subscript[Rp, 10,3]);
γ//(Subscript[m, 4,1->1])//(Subscript[m, 5,1->1])//(Subscript[m, 6,1->1])//(Subscript[m, 7,2->2])//(Subscript[m, 8,2->2])//(Subscript[m, 9,2->2])//(Subscript[m, 10,2->2])//(Subscript[m, 11,2->2])//(Subscript[m, 12,3->3])

γ=(Subscript[Rp, 1,6])(Subscript[Rm, 7,4])(Subscript[Rm, 5,2])(Subscript[Rp, 8,11])(Subscript[Rm, 12,9])(Subscript[Rm, 10,3]);
γ1 = γ//(Subscript[m, 4,1->1])//(Subscript[m, 5,1->1])//(Subscript[m, 6,1->1])//(Subscript[m, 7,2->2])//(Subscript[m, 8,2->2])//(Subscript[m, 9,2->2])//(Subscript[m, 10,2->2])//(Subscript[m, 11,2->2])//(Subscript[m, 12,3->3])

{γ1 // (Subscript[m, 2,3->2]), γ1 // (Subscript[m, 3,2->2])}

(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}}))=(({{-((1-2 (Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]))/(-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2]))), -(((-1+(Subscript[T, 1])) (1-2 (Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3])))), (((-1+(Subscript[T, 1])) (-1+(Subscript[T, 2])))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3]))))}, {(((Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 2])))/(-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2]))), -(((Subscript[T, 2]) (1-2 (Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3])))), (((-1+(Subscript[T, 2])) (Subscript[T, 2]))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3]))))}, {0, (((Subscript[T, 2]) (-1+(Subscript[T, 3])))/(-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3]))), ((Subscript[T, 3])/(-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3])))}})); ω=(((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3])))/((Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]^2) (Subscript[T, 3])));

-β (ϵ+θ)+γ (ϵ+θ)+ϵ ϕ-θ ψ /. (Subscript[T, 3])->(Subscript[T, 2])// Simplify

(({{-((1-2 (Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]))/(-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2]))), -(((-1+(Subscript[T, 1])) (1-2 (Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3])))), (((-1+(Subscript[T, 1])) (-1+(Subscript[T, 2])))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3]))))}, {(((Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 2])))/(-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2]))), -(((Subscript[T, 2]) (1-2 (Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3])))), (((-1+(Subscript[T, 2])) (Subscript[T, 2]))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3]))))}, {0, (((Subscript[T, 2]) (-1+(Subscript[T, 3])))/(-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3]))), ((Subscript[T, 3])/(-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3])))}})).{1,1,1} // FullSimplify

{1,1,1}.(({{-((1-2 (Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]))/(-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2]))), -(((-1+(Subscript[T, 1])) (1-2 (Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3])))), (((-1+(Subscript[T, 1])) (-1+(Subscript[T, 2])))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3]))))}, {(((Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 2])))/(-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2]))), -(((Subscript[T, 2]) (1-2 (Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 3])+(Subscript[T, 2]) (Subscript[T, 3])))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3])))), (((-1+(Subscript[T, 2])) (Subscript[T, 2]))/((-1+(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3]))))}, {0, (((Subscript[T, 2]) (-1+(Subscript[T, 3])))/(-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3]))), ((Subscript[T, 3])/(-1+(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 3])))}})) // FullSimplify

Clear[α,β,γ,δ,θ,ϵ,ϕ,ψ,Ξ,μ,ω];Γ[ω,{(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b]),(Subscript[t, S])}.(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b]),(Subscript[h, S])}]

Γ[ω,{(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b]),(Subscript[t, S])}.(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b]),(Subscript[h, S])}] // (Subscript[m, a,b->c])

Γ[ω,{(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b]),(Subscript[t, S])}.(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b]),(Subscript[h, S])}] // (Subscript[m, b,a->c])

(1-γ)(({{((-β+β γ-α δ)/(-1+γ)), ((-α ϵ-θ+γ θ)/(-1+γ))}, {((-δ ϕ-ψ+γ ψ)/(-1+γ)), ((-Ξ+γ Ξ-ϵ ϕ)/(-1+γ))}})) // Simplify // MatrixForm

FullSimplify[( Ξ+ϵ ϕ/(1-γ)-1)(1-γ)-(Ξ+θ ψ/(1-β)-1)(1-β) /. {Ξ-> 1-ϵ-θ}]

FullSimplify[( Ξ+ϵ ϕ/(1-γ)-1)-(Ξ+θ ψ/(1-β)-1) /. {Ξ-> 1-ϵ-θ}]

ΓZ[L_] := Module[{s, Z, c, k},
s=Skeleton[L];
Z=Times@@PD[L] /. X[i_,j_,k_,l_] :> If[PositiveQ[X[i,j,k,l]], (Subscript[Rp, l,i]), (Subscript[Rm, j,i])];
Do[Z = Z // (Subscript[m, s[[c,1]],s[[c,k]] -> s[[c,1]]]), {c, Length[s]},{k, 2, Length[s[[c]]]}];
Z];
ΓA[K_] := ΓZ[K][[1]] /. (Subscript[T, _]):>T;
ΓMVA[L_Link] := Module[{Hs,ω,μ,A},
{ω,μ} = List @@ ΓZ[L];
Hs = Rest[(Subscript[h, #])& /@ (First /@ Skeleton[L])];
A=Outer[Coefficient[μ, #1*#2]&,Hs, Hs /. (Subscript[h, a_]) :> (Subscript[t, a])];
Factor[((ω Det[A-IdentityMatrix@Length@Hs])/(1-(Subscript[T, Skeleton[L][[1,1]]])))]
]

ΓZ[Link["L6a4"]]

ΓA[Knot[8,17]]

ΓMVA[Link["L6a4"]]

Factor[((Alexander[#][T])/(ΓA[#]))]&  /@ AllKnots[{3,9}]

Factor[(((MultivariableAlexander[#][T] /. T[i_] :> (Subscript[T, Skeleton[#][[i,1]]])))/(ΓMVA[#]))]&  /@ AllLinks[{2,8}]