9 6

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 6"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3,12,4,13 X5,14,6,15 X7,16,8,17 X9,18,10,1 X15,6,16,7 X17,8,18,9 X13,10,14,11 X11,2,12,3

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 9, -2, 1, -3, 6, -4, 7, -5, 8, -9, 2, -8, 3, -6, 4, -7, 5

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 12 14 16 18 2 10 6 8

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[522]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(3,{−1,−1,−1,−1,−1,−1,−2,1,−2,−2})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 3, 10, 3 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{11, 2}, {1, 9}, {8, 10}, {9, 11}, {10, 3}, {2, 4}, {3, 5}, {4, 6}, {5, 7}, {6, 8}, {7, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 9_6.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q25 + q23−q21 + q19−q17−q15 + q13 + 2q9 + q5
2	q68−q66−q64 + 2q62−q60 + 3q56−3q54−q52 + 3q50−2q48−2q46 + q44 + q42−q40−q38 + 2q36−q34−3q32 + 2q30−3q26 + 2q24 + 3q22−2q20 + q18 + 3q16 + q10
3	−q129 + q127 + q125−2q121−q119 + 2q117 + q115−q111−q109−q107 + 2q105 + 3q103−3q101−5q99 + 2q97 + 7q95 + q93−5q91−2q89 + 4q87 + 3q85−4q81−2q79 + 4q77 + q75−4q73−5q71 + 4q69 + 3q67−3q65−5q63 + 4q61 + 5q59−q57−6q55−2q53 + 5q51 + 3q49−5q47−6q45 + q43 + 6q41 + 2q39−6q37−2q35 + 4q33 + 5q31−q29−2q27 + q25 + 3q23 + q21 + q15
4	q208−q206−q204 + 4q198−q196−2q194−3q192−3q190 + 8q188 + 3q186 + q184−6q182−10q180 + 6q178 + 8q176 + 9q174−6q172−20q170−3q168 + 10q166 + 22q164 + 5q162−24q160−17q158 + q156 + 25q154 + 16q152−13q150−17q148−12q146 + 11q144 + 17q142 + 2q140−5q138−12q136−3q134 + 5q132 + 8q130 + 7q128−5q126−11q124−q122 + 12q120 + 10q118−3q116−15q114−4q112 + 15q110 + 10q108−6q106−20q104−8q102 + 16q100 + 14q98−19q94−14q92 + 9q90 + 14q88 + 10q86−9q84−14q82−3q80 + 2q78 + 15q76 + 6q74−6q72−9q70−13q68 + 5q66 + 10q64 + 7q62−16q58−6q56 + 3q54 + 10q52 + 9q50−6q48−6q46−4q44 + 3q42 + 8q40 + q38−2q34 + 3q30 + q28 + q26 + q20
5	−q305 + q303 + q301−2q295−2q293 + q291 + 4q289 + 2q287 + q285−4q283−8q281−3q279 + 5q277 + 11q275 + 7q273−3q271−14q269−14q267 + 3q265 + 21q263 + 19q261−2q259−25q257−31q255−5q253 + 35q251 + 44q249 + 11q247−40q245−59q243−24q241 + 40q239 + 78q237 + 42q235−35q233−86q231−58q229 + 20q227 + 82q225 + 73q223−q221−69q219−75q217−20q215 + 44q213 + 63q211 + 33q209−17q207−47q205−38q203−2q201 + 25q199 + 31q197 + 19q195−7q193−23q191−24q189−6q187 + 17q185 + 26q183 + 13q181−14q179−31q177−15q175 + 19q173 + 32q171 + 15q169−21q167−42q165−16q163 + 33q161 + 48q159 + 22q157−27q155−58q153−30q151 + 30q149 + 62q147 + 39q145−18q143−62q141−51q139 + 6q137 + 55q135 + 56q133 + 9q131−45q129−58q127−26q125 + 25q123 + 49q121 + 35q119−7q117−35q115−34q113−12q111 + 13q109 + 26q107 + 23q105 + 6q103−11q101−18q99−21q97−8q95 + 10q93 + 22q91 + 18q89 + 5q87−14q85−28q83−17q81 + 3q79 + 19q77 + 22q75 + 9q73−11q71−20q69−14q67 + 13q63 + 14q61 + 5q59−3q57−9q55−6q53 + q51 + 6q49 + 4q47 + 3q45−2q41 + 2q37 + q35 + q33 + q31 + q25
6	q420−q418−q416 + 2q410 + 2q406−3q404−3q402−q398 + 4q396 + 4q394 + 8q392−5q390−8q388−7q386−8q384 + 3q382 + 11q380 + 21q378−8q374−15q372−19q370−2q368 + 18q366 + 33q364 + 2q362−13q360−25q358−26q356 + 5q354 + 37q352 + 46q350−5q348−42q346−58q344−38q342 + 32q340 + 96q338 + 96q336−3q334−97q332−141q330−96q328 + 43q326 + 172q324 + 194q322 + 59q320−113q318−223q316−201q314−26q312 + 176q310 + 263q308 + 163q306−27q304−195q302−248q300−132q298 + 61q296 + 204q294 + 197q292 + 88q290−59q288−167q286−155q284−58q282 + 60q280 + 114q278 + 108q276 + 48q274−36q272−85q270−84q268−36q266 + 14q264 + 60q262 + 69q260 + 36q258−19q256−65q254−56q252−15q250 + 38q248 + 65q246 + 45q244−19q242−77q240−65q238 + q236 + 71q234 + 92q232 + 48q230−49q228−124q226−98q224 + 6q222 + 109q220 + 140q218 + 79q216−55q214−163q212−152q210−27q208 + 113q206 + 179q204 + 137q202−10q200−157q198−196q196−98q194 + 56q192 + 175q190 + 196q188 + 79q186−87q184−194q182−169q180−52q178 + 95q176 + 196q174 + 158q172 + 30q170−112q168−168q166−135q164−28q162 + 103q160 + 149q158 + 108q156 + 6q154−71q152−115q150−92q148−13q146 + 49q144 + 79q142 + 53q140 + 32q138−15q136−46q134−42q132−33q130−9q128 + 36q124 + 40q122 + 31q120 + 14q118−15q116−35q114−57q112−24q110 + 4q108 + 34q106 + 48q104 + 36q102 + 9q100−37q98−41q96−36q94−11q92 + 17q90 + 36q88 + 34q86 + 5q84−8q82−24q80−22q78−12q76 + 7q74 + 18q72 + 10q70 + 9q68−q66−7q64−9q62−2q60 + 4q58 + 2q56 + 5q54 + 3q52 + q50−2q48 + 2q44 + q40 + q38 + q36 + q30

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q36−2q26−q22 + q20 + 2q18 + q16 + 2q14 + q10
1,1	q100−2q98 + 4q96−6q94 + 7q92−10q90 + 12q88−10q86 + 11q84−10q82 + 10q80−10q78 + 7q76−10q74 + 8q72−4q70−q68 + 10q66−16q64 + 26q62−31q60 + 38q58−40q56 + 36q54−35q52 + 24q50−22q48 + 2q46 + 2q44−18q42 + 20q40−24q38 + 28q36−18q34 + 22q32−8q30 + 12q28−2q26 + 4q24 + q20
2,0	q90−q84 + q80 + q78 + q76−q74 + q70−2q66 + q62−2q60−2q58−q56−3q52−2q50−q48−3q46−q44 + q42 + q40 + 4q36 + 4q34 + 2q32 + q30 + 3q28 + 2q26 + q20

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q82−q80 + 2q76−2q74−q72 + 3q70−q68−2q66 + 3q64−2q60 + q58−q56−q54−2q52 + q50−4q46−q44−q42−4q40−q38 + 3q36 + 4q32 + 4q30 + 2q28 + 3q26 + 2q24 + q20
1,0,0	−q47−q43 + q41−q39−2q35−q33−q31 + 2q27 + q25 + 3q23 + q21 + 2q19 + q15
1,0,1	q132−2q130 + 3q128−q126−3q124 + 6q122−8q120 + 4q118 + 2q116−5q114 + 9q112−5q110 + 2q108 + 2q106−5q104−q102 + 4q100−11q98 + 9q96−9q92 + 17q90−16q88 + 15q86−6q84 + 3q82 + 7q80−6q78 + 11q76−7q74 + 9q72−12q70 + 7q68−17q66−5q64−10q62−18q60 + 2q58−22q56 + 11q54−8q52 + 9q50 + 12q48 + 2q46 + 19q44 + 3q42 + 10q40 + 6q38 + 2q36 + 4q34 + q30

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q104−q100 + q98 + 2q96−q94−q92 + 2q90 + q88−q86 + 2q82−q80−2q78 + q76−q74−3q72−5q66−3q64−2q62−4q60−6q58−3q56−q54−q52 + q50 + 4q48 + 5q46 + 5q44 + 7q42 + 4q40 + 4q38 + 3q36 + 2q34 + q30
1,0,0,0	−q58−q54−q48−2q44−q42−2q40 + 2q34 + 2q32 + 2q30 + 3q28 + q26 + 2q24 + q20

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q82 + q80−2q78 + 2q76−2q74 + 3q72−3q70 + 3q68−2q66 + q64−2q60 + 3q58−5q56 + 5q54−6q52 + 5q50−6q48 + 4q46−3q44 + q42−q38 + 3q36−2q34 + 4q32−2q30 + 4q28−q26 + 2q24 + q20
1,0	q132−q128−q126 + q124 + 2q122−2q118−2q116 + q114 + 3q112 + q110−2q108−2q106 + q104 + 3q102−3q98−q96 + 2q94 + q92−3q90−2q88 + q86 + 2q84−q82−q80 + q76−q74−3q72−2q70 + q68 + q66−3q64−4q62 + 4q58 + 2q56−q54−2q52 + 3q50 + 4q48 + 2q46−q44 + q42 + 2q40 + 2q38 + q30

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q114−q112 + q110−q108 + 2q106−2q104 + q102−2q100 + 3q98−2q96 + q94−2q92 + 2q90 + q84−2q82 + 3q80−4q78 + 3q76−6q74 + 3q72−5q70 + 3q68−5q66 + 2q64−4q62−3q58−2q56−2q52 + 2q50 + 6q46 + q44 + 6q42 + q40 + 5q38 + q36 + 2q34 + q30

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q196−q194 + 2q192−2q190 + q186−2q184 + 4q182−4q180 + 4q178−2q176−q174 + 3q172−4q170 + 4q168−5q166 + 3q164−3q162−q160 + 3q158−4q156 + 5q154−4q152 + 2q150−4q146 + 4q144−2q142−q140 + 6q138−5q136 + 2q134 + 3q132−6q130 + 9q128−10q126 + 3q124−5q120 + 10q118−12q116 + 6q114−3q112−2q110 + 3q108−9q106 + 6q104−4q102 + 4q98−6q96 + 4q94 + 3q92−5q90 + 7q88−6q86 + 2q84 + 5q82−7q80 + 11q78−7q76 + 5q74 + 2q72−4q70 + 7q68−5q66 + 5q64 + 2q58−q56 + 2q54 + q50

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 6"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

2t3−4t2 + 5t−5 + 5t−1−4t−2 + 2t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

2z6 + 8z4 + 7z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 27, -6 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q−3−q−4 + 3q−5−3q−6 + 4q−7−5q−8 + 4q−9−3q−10 + 2q−11−q−12

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

−z4a10−3z2a10−a10 + z6a8 + 4z4a8 + 3z2a8−a8 + z6a6 + 5z4a6 + 7z2a6 + 3a6

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z3a15−za15 + 2z4a14−2z2a14 + 2z5a13−z3a13 + 2z6a12−2z4a12 + z2a12 + 2z7a11−5z5a11 + 6z3a11−2za11 + z8a10−2z6a10 + 2z4a10−3z2a10 + a10 + 3z7a9−10z5a9 + 8z3a9−za9 + z8a8−3z6a8 + z4a8 + z2a8−a8 + z7a7−3z5a7 + 2za7 + z6a6−5z4a6 + 7z2a6−3a6

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 6"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ 2t3−4t2 + 5t−5 + 5t−1−4t−2 + 2t−3, q−3−q−4 + 3q−5−3q−6 + 4q−7−5q−8 + 4q−9−3q−10 + 2q−11−q−12 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q−6−q−7 + 4q−9−3q−10−3q−11 + 9q−12−4q−13−8q−14 + 12q−15−2q−16−13q−17 + 14q−18 + q−19−16q−20 + 14q−21 + 3q−22−16q−23 + 11q−24 + 3q−25−11q−26 + 7q−27 + q−28−5q−29 + 4q−30−2q−32 + q−33
3	q−9−q−10 + q−12 + 3q−13−3q−14−3q−15 + 2q−16 + 9q−17−4q−18−9q−19−2q−20 + 17q−21−14q−23−9q−24 + 18q−25 + 8q−26−12q−27−16q−28 + 14q−29 + 13q−30−6q−31−17q−32 + 5q−33 + 15q−34−16q−36−4q−37 + 16q−38 + 5q−39−13q−40−10q−41 + 14q−42 + 9q−43−10q−44−9q−45 + 8q−46 + 6q−47−4q−48−3q−49 + 3q−50−q−51−2q−52 + 3q−53 + 2q−54−4q−55−2q−56 + 3q−57 + 3q−58−3q−59−q−60 + 2q−62−q−63
4	q−12−q−13 + q−15 + 3q−17−4q−18−2q−19 + 3q−20 + q−21 + 10q−22−9q−23−9q−24 + q−25 + q−26 + 25q−27−8q−28−16q−29−8q−30−9q−31 + 41q−32−q−33−13q−34−13q−35−27q−36 + 45q−37 + 2q−38−q−39−4q−40−40q−41 + 40q−42−9q−43 + 4q−44 + 15q−45−36q−46 + 35q−47−32q−48−q−49 + 34q−50−22q−51 + 37q−52−56q−53−13q−54 + 48q−55−6q−56 + 42q−57−75q−58−24q−59 + 60q−60 + 7q−61 + 44q−62−88q−63−34q−64 + 66q−65 + 19q−66 + 45q−67−91q−68−42q−69 + 57q−70 + 26q−71 + 52q−72−76q−73−48q−74 + 34q−75 + 21q−76 + 56q−77−47q−78−39q−79 + 10q−80 + 3q−81 + 49q−82−18q−83−22q−84−2q−85−10q−86 + 32q−87−4q−88−7q−89−3q−90−12q−91 + 16q−92−q−95−7q−96 + 5q−97 + q−99−2q−101 + q−102
5	q−15−q−16 + q−18 + 2q−21−3q−22−2q−23 + 3q−24 + 3q−25 + q−26 + 4q−27−8q−28−9q−29 + 9q−31 + 9q−32 + 13q−33−9q−34−22q−35−14q−36 + 3q−37 + 18q−38 + 33q−39 + 4q−40−25q−41−30q−42−17q−43 + 7q−44 + 47q−45 + 23q−46−12q−47−26q−48−29q−49−11q−50 + 34q−51 + 26q−52−5q−53−9q−54−12q−55−8q−56 + 21q−57 + q−58−27q−59−10q−60 + 16q−61 + 34q−62 + 35q−63−23q−64−78q−65−42q−66 + 29q−67 + 88q−68 + 82q−69−24q−70−127q−71−99q−72 + 18q−73 + 132q−74 + 139q−75−q−76−159q−77−159q−78−10q−79 + 163q−80 + 188q−81 + 25q−82−174q−83−208q−84−36q−85 + 184q−86 + 224q−87 + 42q−88−187q−89−242q−90−52q−91 + 201q−92 + 251q−93 + 55q−94−196q−95−265q−96−70q−97 + 202q−98 + 267q−99 + 81q−100−184q−101−271q−102−97q−103 + 166q−104 + 258q−105 + 111q−106−134q−107−241q−108−116q−109 + 102q−110 + 203q−111 + 117q−112−66q−113−167q−114−107q−115 + 40q−116 + 125q−117 + 89q−118−15q−119−90q−120−71q−121 + 2q−122 + 61q−123 + 54q−124 + 4q−125−39q−126−38q−127−7q−128 + 21q−129 + 28q−130 + 10q−131−16q−132−17q−133−5q−134 + 3q−135 + 11q−136 + 10q−137−5q−138−7q−139−q−140−3q−141 + 3q−142 + 5q−143−q−144−2q−145−q−147 + 2q−149−q−150
6	q−18−q−19 + q−21−q−24 + 3q−25−3q−26−2q−27 + 4q−28 + 2q−29 + 2q−30−4q−31 + 5q−32−9q−33−9q−34 + 6q−35 + 8q−36 + 12q−37−3q−38 + 13q−39−20q−40−28q−41−4q−42 + 6q−43 + 28q−44 + 10q−45 + 42q−46−18q−47−47q−48−32q−49−19q−50 + 23q−51 + 14q−52 + 88q−53 + 9q−54−35q−55−46q−56−49q−57−5q−58−19q−59 + 110q−60 + 29q−61−6q−62−29q−63−40q−64−9q−65−55q−66 + 101q−67 + 5q−68−15q−69−33q−70−9q−71 + 38q−72−34q−73 + 127q−74−25q−75−77q−76−112q−77−32q−78 + 82q−79 + 43q−80 + 229q−81 + 16q−82−123q−83−243q−84−139q−85 + 49q−86 + 99q−87 + 371q−88 + 144q−89−85q−90−344q−91−286q−92−68q−93 + 74q−94 + 478q−95 + 310q−96 + 32q−97−365q−98−405q−99−222q−100−24q−101 + 517q−102 + 457q−103 + 179q−104−323q−105−471q−106−362q−107−149q−108 + 506q−109 + 565q−110 + 313q−111−262q−112−502q−113−465q−114−253q−115 + 480q−116 + 640q−117 + 410q−118−218q−119−523q−120−535q−121−319q−122 + 468q−123 + 698q−124 + 474q−125−198q−126−550q−127−588q−128−360q−129 + 459q−130 + 744q−131 + 529q−132−165q−133−559q−134−634q−135−410q−136 + 411q−137 + 743q−138 + 578q−139−81q−140−499q−141−628q−142−464q−143 + 293q−144 + 646q−145 + 566q−146 + 27q−147−352q−148−519q−149−457q−150 + 150q−151 + 453q−152 + 450q−153 + 80q−154−184q−155−329q−156−357q−157 + 63q−158 + 251q−159 + 275q−160 + 58q−161−74q−162−157q−163−222q−164 + 41q−165 + 122q−166 + 136q−167 + 13q−168−30q−169−63q−170−123q−171 + 41q−172 + 58q−173 + 66q−174−7q−175−14q−176−26q−177−72q−178 + 32q−179 + 26q−180 + 35q−181−6q−182−2q−183−11q−184−41q−185 + 17q−186 + 6q−187 + 18q−188−2q−189 + 5q−190−3q−191−20q−192 + 7q−193−2q−194 + 7q−195−q−196 + 4q−197−7q−199 + 3q−200−2q−201 + 2q−202 + q−204−2q−206 + q−207