9 31

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 31"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3,10,4,11 X11,1,12,18 X5,13,6,12 X17,7,18,6 X7,14,8,15 X13,16,14,17 X15,8,16,9 X9,2,10,3

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 9, -2, 1, -4, 5, -6, 8, -9, 2, -3, 4, -7, 6, -8, 7, -5, 3

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 10 12 14 2 18 16 8 6

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[2111112]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,2,−1,2,−3,2,−3,−3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 9, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{11, 7}, {1, 9}, {8, 10}, {9, 11}, {10, 6}, {7, 2}, {5, 1}, {6, 3}, {2, 4}, {3, 5}, {4, 8}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 9_31.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q15−3q13 + 2q11−2q9 + 2q7 + q5−q3 + 3q−2q−1 + 2q−3−q−5
2	q42−3q40−q38 + 10q36−7q34−8q32 + 18q30−7q28−15q26 + 18q24−q22−15q20 + 7q18 + 6q16−5q14−7q12 + 11q10 + 8q8−17q6 + 7q4 + 15q2−18 + 14q−4−9q−6−3q−8 + 7q−10−2q−12−2q−14 + q−16
3	q81−3q79−q77 + 7q75 + 5q73−11q71−18q69 + 20q67 + 29q65−22q63−49q61 + 21q59 + 71q57−13q55−89q53−q51 + 101q49 + 18q47−96q45−38q43 + 87q41 + 48q39−63q37−60q35 + 35q33 + 56q31−4q29−56q27−27q25 + 50q23 + 54q21−36q19−76q17 + 23q15 + 94q13−3q11−99q9−15q7 + 96q5 + 36q3−84q−47q−1 + 62q−3 + 54q−5−41q−7−49q−9 + 20q−11 + 39q−13−6q−15−26q−17−2q−19 + 16q−21 + 3q−23−7q−25−3q−27 + 2q−29 + 2q−31−q−33
4	q132−3q130−q128 + 7q126 + 2q124 + q122−21q120−10q118 + 29q116 + 23q114 + 19q112−72q110−63q108 + 58q106 + 96q104 + 89q102−148q100−197q98 + 31q96 + 212q94 + 268q92−164q90−396q88−127q86 + 273q84 + 507q82−34q80−504q78−358q76 + 169q74 + 631q72 + 184q70−404q68−484q66−45q64 + 522q62 + 330q60−156q58−424q56−226q54 + 256q52 + 343q50 + 102q48−247q46−320q44−43q42 + 286q40 + 318q38−53q36−359q34−306q32 + 198q30 + 474q28 + 150q26−327q24−521q22 + 46q20 + 524q18 + 348q16−187q14−617q12−162q10 + 402q8 + 461q6 + 49q4−515q2−312 + 152q−2 + 395q−4 + 229q−6−269q−8−292q−10−57q−12 + 201q−14 + 235q−16−58q−18−149q−20−106q−22 + 39q−24 + 128q−26 + 19q−28−34q−30−59q−32−13q−34 + 41q−36 + 14q−38 + 2q−40−16q−42−10q−44 + 7q−46 + 3q−48 + 3q−50−2q−52−2q−54 + q−56
5	q195−3q193−q191 + 7q189 + 2q187−2q185−9q183−13q181−q179 + 29q177 + 37q175−3q173−55q171−74q169−16q167 + 86q165 + 165q163 + 74q161−160q159−290q157−171q155 + 177q153 + 496q151 + 398q149−184q147−756q145−715q143 + 53q141 + 1009q139 + 1206q137 + 231q135−1204q133−1773q131−710q129 + 1230q127 + 2331q125 + 1378q123−1030q121−2774q119−2105q117 + 580q115 + 2947q113 + 2787q111 + 59q109−2838q107−3243q105−771q103 + 2405q101 + 3437q99 + 1405q97−1779q95−3268q93−1888q91 + 1030q89 + 2882q87 + 2136q85−324q83−2268q81−2189q79−336q77 + 1640q75 + 2098q73 + 849q71−986q69−1933q67−1298q65 + 391q63 + 1769q61 + 1674q59 + 133q57−1609q55−2038q53−646q51 + 1454q49 + 2397q47 + 1152q45−1274q43−2698q41−1691q39 + 994q37 + 2926q35 + 2239q33−586q31−2993q29−2738q27 + 37q25 + 2839q23 + 3121q21 + 621q19−2429q17−3304q15−1265q13 + 1794q11 + 3190q9 + 1818q7−1007q5−2819q3−2140q + 240q−1 + 2189q−3 + 2180q−5 + 426q−7−1472q−9−1953q−11−829q−13 + 769q−15 + 1529q−17 + 981q−19−222q−21−1034q−23−908q−25−123q−27 + 590q−29 + 702q−31 + 260q−33−254q−35−458q−37−277q−39 + 66q−41 + 261q−43 + 205q−45 + 20q−47−117q−49−132q−51−46q−53 + 49q−55 + 71q−57 + 33q−59−13q−61−29q−63−23q−65−2q−67 + 16q−69 + 10q−71−3q−75−3q−77−3q−79 + 2q−81 + 2q−83−q−85

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q22−q20−2q18 + q16−2q14 + q12 + q10 + 3q6−q4 + 3q2−q−2 + q−4−q−6
1,1	q60−6q58 + 18q56−38q54 + 69q52−120q50 + 186q48−254q46 + 324q44−382q42 + 414q40−396q38 + 326q36−208q34 + 40q32 + 156q30−368q28 + 554q26−708q24 + 792q22−811q20 + 756q18−632q16 + 466q14−253q12 + 60q10 + 126q8−270q6 + 367q4−406q2 + 396−354q−2 + 292q−4−218q−6 + 150q−8−96q−10 + 54q−12−28q−14 + 12q−16−4q−18 + q−20
2,0	q56−q54−3q52 + 5q48 + 3q46−6q44 + 8q40−9q36 + 7q32−5q30−10q28 + 2q26 + 2q24−7q22 + 3q20 + 7q18−q16 + q14 + 10q12 + 2q10−8q8 + 2q6 + 10q4−4q2−8 + 5q−2 + 5q−4−4q−6−3q−8 + 2q−10 + 2q−12−2q−14−q−16 + q−18

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q48−3q46 + 7q42−8q40 + q38 + 13q36−13q34−3q32 + 14q30−12q28−6q26 + 10q24−5q22−6q20 + 6q16−6q12 + 15q10 + 7q8−13q6 + 12q4 + 5q2−14 + 6q−2 + 3q−4−8q−6 + 3q−8 + q−10−2q−12 + q−14
1,0,0	q29−q27−2q23 + q21−3q19 + q17−q15 + q13 + q11 + 2q9 + 3q7 + 3q3−q + q−1−2q−3 + q−5−q−7

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q62−q60−3q58 + q56 + 4q54−q52−4q50 + 6q48 + 8q46−6q44−8q42 + 9q40 + 2q38−13q36−2q34 + 7q32−8q30−12q28 + 4q26 + q24−10q22 + 4q20 + 17q18−2q16 + 19q12 + 9q10−9q8 + 2q6 + 9q4−4q2−10 + q−2 + 3q−4−5q−6−2q−8 + 3q−10−q−14 + q−16
1,0,0,0	q36−q34−2q28 + q26−3q24−q20−q18 + q16 + q14 + 3q12 + 2q10 + 4q8 + 3q4−q2−2q−4 + q−6−q−8

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q48−3q46 + 6q44−9q42 + 12q40−15q38 + 15q36−15q34 + 11q32−8q30 + 8q26−16q24 + 23q22−26q20 + 30q18−28q16 + 26q14−18q12 + 11q10−3q8−3q6 + 10q4−13q2 + 16−14q−2 + 13q−4−10q−6 + 7q−8−5q−10 + 2q−12−q−14
1,0	q78−3q74−3q72 + 3q70 + 8q68 + q66−10q64−7q62 + 10q60 + 14q58−2q56−17q54−7q52 + 12q50 + 12q48−8q46−15q44 + q42 + 12q40 + 2q38−12q36−5q34 + 9q32 + 7q30−8q28−8q26 + 6q24 + 11q22−3q20−10q18 + 3q16 + 16q14 + 5q12−13q10−10q8 + 11q6 + 16q4−2q2−16−6q−2 + 10q−4 + 10q−6−4q−8−9q−10−2q−12 + 5q−14 + 3q−16−2q−18−2q−20 + q−24

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q66−3q64 + 3q62−4q60 + 8q58−10q56 + 10q54−10q52 + 14q50−12q48 + 8q46−9q44 + 8q42−2q40−5q38 + 4q36−11q34 + 15q32−21q30 + 16q28−25q26 + 23q24−20q22 + 20q20−15q18 + 18q16−q14 + 9q12 + 2q10−2q8 + 10q6−9q4 + 9q2−14 + 11q−2−11q−4 + 8q−6−9q−8 + 6q−10−4q−12 + 3q−14−2q−16 + q−18

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q114−3q112 + 6q110−10q108 + 8q106−4q104−5q102 + 22q100−33q98 + 45q96−41q94 + 16q92 + 17q90−54q88 + 80q86−86q84 + 65q82−20q80−33q78 + 75q76−90q74 + 70q72−28q70−23q68 + 48q66−52q64 + 24q62 + 26q60−67q58 + 82q56−60q54 + 2q52 + 65q50−121q48 + 136q46−108q44 + 48q42 + 32q40−96q38 + 129q36−115q34 + 68q32−4q30−51q28 + 73q26−55q24 + 22q22 + 29q20−57q18 + 59q16−26q14−24q12 + 72q10−94q8 + 83q6−43q4−9q2 + 55−80q−2 + 81q−4−55q−6 + 18q−8 + 13q−10−35q−12 + 38q−14−31q−16 + 19q−18−5q−20−5q−22 + 7q−24−8q−26 + 5q−28−2q−30 + q−32

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 31"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

t3−5t2 + 13t−17 + 13t−1−5t−2 + t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

z6 + z4 + 2z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 55, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

−q2 + 3q−5 + 8q−1−9q−2 + 10q−3−8q−4 + 6q−5−4q−6 + q−7

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z2a6−2z4a4−4z2a4−2a4 + z6a2 + 4z4a2 + 7z2a2 + 4a2−z4−2z2−1

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z4a8 + 4z5a7−4z3a7 + 6z6a6−8z4a6 + 3z2a6 + 4z7a5 + z5a5−8z3a5 + 3za5 + z8a4 + 11z6a4−23z4a4 + 13z2a4−2a4 + 7z7a3−7z5a3−5z3a3 + 5za3 + z8a2 + 8z6a2−21z4a2 + 15z2a2−4a2 + 3z7a−3z5a−3z3a + 3za + 3z6−7z4 + 5z2−1 + z5a−1−2z3a−1 + za−1

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 31"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ t3−5t2 + 13t−17 + 13t−1−5t−2 + t−3, −q2 + 3q−5 + 8q−1−9q−2 + 10q−3−8q−4 + 6q−5−4q−6 + q−7 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{K11n11, K11n22, K11n112, K11n127,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q7−3q6 + 10q4−13q3−6q2 + 33q−27−24q−1 + 66q−2−35q−3−48q−4 + 91q−5−32q−6−66q−7 + 93q−8−21q−9−65q−10 + 71q−11−7q−12−46q−13 + 38q−14 + q−15−21q−16 + 12q−17 + 2q−18−4q−19 + q−20
3	−q15 + 3q14−5q12−5q11 + 13q10 + 13q9−23q8−29q7 + 33q6 + 58q5−42q4−98q3 + 41q2 + 153q−34−207q−1 + 4q−2 + 273q−3 + 26q−4−318q−5−80q−6 + 369q−7 + 123q−8−389q−9−179q−10 + 409q−11 + 213q−12−393q−13−256q−14 + 380q−15 + 265q−16−333q−17−277q−18 + 285q−19 + 262q−20−222q−21−238q−22 + 160q−23 + 204q−24−108q−25−155q−26 + 58q−27 + 116q−28−32q−29−71q−30 + 8q−31 + 46q−32−5q−33−20q−34−q−35 + 8q−36 + 2q−37−4q−38 + q−39
4	q26−3q25 + 5q23 + 5q21−20q20−6q19 + 23q18 + 12q17 + 32q16−74q15−52q14 + 48q13 + 65q12 + 141q11−163q10−197q9 + 5q8 + 156q7 + 434q6−197q5−455q4−230q3 + 179q2 + 932q−31−698q−1−694q−2−24q−3 + 1496q−4 + 381q−5−757q−6−1258q−7−479q−8 + 1926q−9 + 916q−10−581q−11−1736q−12−1046q−13 + 2120q−14 + 1393q−15−257q−16−2012q−17−1550q−18 + 2067q−19 + 1699q−20 + 114q−21−2044q−22−1879q−23 + 1790q−24 + 1772q−25 + 463q−26−1803q−27−1966q−28 + 1308q−29 + 1574q−30 + 731q−31−1317q−32−1774q−33 + 741q−34 + 1135q−35 + 811q−36−729q−37−1327q−38 + 279q−39 + 608q−40 + 665q−41−259q−42−786q−43 + 45q−44 + 208q−45 + 396q−46−27q−47−354q−48−11q−49 + 27q−50 + 168q−51 + 22q−52−117q−53−4q−54−11q−55 + 47q−56 + 13q−57−26q−58−5q−60 + 8q−61 + 2q−62−4q−63 + q−64
5	−q40 + 3q39−5q37 + 2q34 + 13q33 + 6q32−23q31−21q30−6q29 + 18q28 + 59q27 + 44q26−45q25−116q24−92q23 + 33q22 + 196q21 + 229q20 + 11q19−311q18−435q17−148q16 + 400q15 + 743q14 + 453q13−423q12−1148q11−933q10 + 274q9 + 1555q8 + 1656q7 + 125q6−1908q5−2531q4−850q3 + 2036q2 + 3554q + 1879−1899q−1−4480q−2−3230q−3 + 1357q−4 + 5366q−5 + 4704q−6−527q−7−5876q−8−6289q−9−682q−10 + 6241q−11 + 7754q−12 + 1973q−13−6158q−14−9091q−15−3457q−16 + 5986q−17 + 10161q−18 + 4798q−19−5471q−20−11023q−21−6142q−22 + 4979q−23 + 11585q−24 + 7224q−25−4226q−26−11966q−27−8242q−28 + 3587q−29 + 12014q−30 + 8966q−31−2685q−32−11871q−33−9620q−34 + 1898q−35 + 11379q−36 + 9913q−37−850q−38−10622q−39−10078q−40−78q−41 + 9526q−42 + 9834q−43 + 1094q−44−8162q−45−9332q−46−1930q−47 + 6608q−48 + 8454q−49 + 2583q−50−4978q−51−7300q−52−2962q−53 + 3432q−54 + 5982q−55 + 2988q−56−2081q−57−4572q−58−2802q−59 + 1065q−60 + 3297q−61 + 2319q−62−337q−63−2164q−64−1849q−65−36q−66 + 1357q−67 + 1256q−68 + 232q−69−729q−70−874q−71−233q−72 + 401q−73 + 488q−74 + 191q−75−157q−76−292q−77−135q−78 + 82q−79 + 140q−80 + 72q−81−27q−82−58q−83−44q−84 + 3q−85 + 38q−86 + 14q−87−8q−88−6q−89−4q−90−5q−91 + 8q−92 + 2q−93−4q−94 + q−95
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