9 20

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 20"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3,10,4,11 X5,14,6,15 X7,16,8,17 X11,1,12,18 X15,6,16,7 X17,13,18,12 X13,8,14,9 X9,2,10,3

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 9, -2, 1, -3, 6, -4, 8, -9, 2, -5, 7, -8, 3, -6, 4, -7, 5

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 10 14 16 2 18 8 6 12

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[31212]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,−1,2,−1,−3,2,−3,−3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 9, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{12, 2}, {1, 10}, {8, 11}, {10, 12}, {9, 3}, {2, 4}, {3, 5}, {4, 8}, {6, 9}, {5, 7}, {11, 6}, {7, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 9_20.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q19 + 2q17−2q15 + q13−q11 + 2q7−q5 + 2q3−q + q−1
2	q52−2q50 + 5q46−6q44−q42 + 8q40−8q38−q36 + 9q34−4q32−4q30 + 4q28 + 2q26−5q24−3q22 + 6q20−q18−7q16 + 8q14 + 3q12−8q10 + 5q8 + 5q6−6q4 + q2 + 4−2q−2−q−4 + q−6
3	−q99 + 2q97−3q93 + 5q89 + 2q87−10q85 + 13q81−2q79−18q77 + 2q75 + 25q73−2q71−28q69−2q67 + 30q65 + 7q63−26q61−13q59 + 16q57 + 19q55−6q53−20q51−5q49 + 21q47 + 13q45−16q43−22q41 + 13q39 + 23q37−9q35−27q33 + 2q31 + 28q29 + 4q27−27q25−11q23 + 26q21 + 17q19−19q17−20q15 + 13q13 + 23q11−3q9−20q7−2q5 + 14q3 + 7q−8q−1−7q−3 + 3q−5 + 5q−7−2q−11−q−13 + q−15
4	q160−2q158 + 3q154−2q152 + q150−6q148 + 3q146 + 9q144−8q142 + 2q140−10q138 + 11q136 + 18q134−25q132−10q130−9q128 + 40q126 + 37q124−53q122−46q120−15q118 + 79q116 + 79q114−60q112−93q110−51q108 + 86q106 + 122q104−15q102−92q100−97q98 + 30q96 + 111q94 + 48q92−28q90−96q88−45q86 + 39q84 + 78q82 + 50q80−51q78−87q76−28q74 + 73q72 + 85q70−5q68−93q66−68q64 + 60q62 + 92q60 + 24q58−90q56−92q54 + 44q52 + 92q50 + 58q48−70q46−114q44 + 3q42 + 76q40 + 98q38−20q36−112q34−52q32 + 26q30 + 114q28 + 46q26−63q24−76q22−40q20 + 70q18 + 73q16 + 6q14−44q12−68q10 + 7q8 + 44q6 + 35q4 + 4q2−40−19q−2 + 3q−4 + 19q−6 + 18q−8−8q−10−9q−12−7q−14 + q−16 + 7q−18 + q−20−2q−24−q−26 + q−28
5	−q235 + 2q233−3q229 + 2q227 + q225 + q221−2q219−4q217 + 2q215 + 6q213−q211−8q209−5q207 + 10q205 + 15q203 + 8q201−18q199−46q197−15q195 + 50q193 + 81q191 + 32q189−77q187−147q185−73q183 + 114q181 + 236q179 + 133q177−137q175−326q173−232q171 + 119q169 + 420q167 + 350q165−68q163−460q161−464q159−46q157 + 443q155 + 556q153 + 176q151−353q149−573q147−306q145 + 198q143 + 514q141 + 400q139−23q137−388q135−422q133−140q131 + 213q129 + 390q127 + 262q125−44q123−304q121−338q119−100q117 + 215q115 + 354q113 + 205q111−132q109−361q107−261q105 + 87q103 + 349q101 + 288q99−49q97−356q95−311q93 + 44q91 + 362q89 + 335q87−17q85−376q83−381q81−16q79 + 378q77 + 426q75 + 83q73−346q71−472q69−180q67 + 280q65 + 491q63 + 277q61−165q59−467q57−379q55 + 21q53 + 390q51 + 433q49 + 129q47−259q45−429q43−260q41 + 102q39 + 361q37 + 336q35 + 55q33−241q31−332q29−176q27 + 97q25 + 275q23 + 234q21 + 28q19−167q17−220q15−117q13 + 61q11 + 167q9 + 140q7 + 22q5−87q3−119q−65q−1 + 23q−3 + 75q−5 + 67q−7 + 15q−9−32q−11−45q−13−29q−15 + 4q−17 + 25q−19 + 22q−21 + 5q−23−6q−25−11q−27−9q−29 + q−31 + 5q−33 + 3q−35 + q−37−2q−41−q−43 + q−45

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q28 + q24−q22 + q20−q18 + q14−q12 + 2q10−q8 + q6 + q4 + 1
1,1	q76−4q74 + 8q72−12q70 + 22q68−36q66 + 46q64−56q62 + 72q60−84q58 + 84q56−82q54 + 77q52−62q50 + 32q48 + 4q46−43q44 + 90q42−132q40 + 168q38−192q36 + 198q34−190q32 + 158q30−126q28 + 82q26−30q24−18q22 + 57q20−82q18 + 106q16−110q14 + 104q12−84q10 + 70q8−48q6 + 29q4−16q2 + 8−2q−2 + q−4
2,0	q70−q66 + q62−3q58 + q56 + 2q54−3q52−q50 + 4q48 + 3q46−4q44−q42 + 3q40−2q38−4q36 + 2q34 + q32−4q30 + q28 + 2q26−2q24−2q22 + 4q20 + 3q18−2q16 + q14 + 5q12−2q8 + q6 + 2q4−1 + q−4

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q62−2q60−q58 + 5q56−3q54−3q52 + 8q50−3q48−6q46 + 6q44−2q42−6q40 + 4q38 + q36−2q34−q32 + 3q30 + 3q28−6q26 + 3q24 + 5q22−7q20 + 5q16−5q14 + 2q12 + 5q10−2q8 + 2q6 + 2q4−q2 + 1
1,0,0	−q37−q33 + q31−q29 + 2q27−q25 + q23−q15 + q13−q11 + 2q9 + 2q5 + q

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q80−2q76−q74 + 2q72 + 2q70−2q68 + 5q64−6q60 + 2q56−6q54−3q52 + 3q50 + q48−4q46 + 3q44 + 5q42−4q40−q38 + 7q36−7q32 + 4q30 + 3q28−4q26−3q24 + 3q22 + q20−2q18 + 2q16 + 4q14 + q12 + q10 + 3q8 + q6 + q2
1,0,0,0	−q46−q42−q40 + q38−q36 + 2q34 + q30 + q28−q22−2q18 + q16−q14 + 2q12 + q10 + q8 + 2q6 + q2

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q62 + 2q60−3q58 + 5q56−7q54 + 7q52−8q50 + 7q48−6q46 + 4q44−4q40 + 8q38−11q36 + 14q34−15q32 + 15q30−13q28 + 10q26−7q24 + 3q22 + q20−4q18 + 7q16−7q14 + 8q12−7q10 + 6q8−4q6 + 4q4−q2 + 1
1,0	q100−2q96−2q94 + q92 + 5q90 + 2q88−5q86−5q84 + 2q82 + 8q80 + 2q78−7q76−6q74 + 3q72 + 7q70−q68−7q66−2q64 + 6q62 + 4q60−5q58−5q56 + 3q54 + 5q52−2q50−5q48 + q46 + 5q44−6q40−q38 + 7q36 + 5q34−5q32−8q30 + q28 + 9q26 + 3q24−6q22−6q20 + 4q18 + 7q16 + q14−4q12−2q10 + 3q8 + 3q6−q4−q2 + q−2

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q86−2q84 + q82−2q80 + 5q78−5q76 + 4q74−5q72 + 8q70−5q68 + 4q66−6q64 + 3q62−2q60−2q58−6q54 + 7q52−8q50 + 11q48−11q46 + 13q44−9q42 + 12q40−9q38 + 8q36−5q34 + 3q32−3q30−2q28 + 2q26−5q24 + 4q22−6q20 + 8q18−4q16 + 7q14−3q12 + 6q10−2q8 + 3q6−q4 + q2

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q148−2q146 + 3q144−4q142 + 2q140−q138−2q136 + 9q134−12q132 + 15q130−13q128 + 5q126 + 2q124−13q122 + 23q120−27q118 + 23q116−13q114−q112 + 15q110−23q108 + 25q106−21q104 + 5q102 + 7q100−17q98 + 16q96−5q94−9q92 + 23q90−24q88 + 14q86 + 3q84−26q82 + 44q80−44q78 + 30q76−4q74−21q72 + 43q70−45q68 + 33q66−17q64−6q62 + 22q60−28q58 + 22q56−6q54−9q52 + 19q50−19q48 + 7q46 + 8q44−23q42 + 31q40−28q38 + 12q36 + 10q34−26q32 + 36q30−30q28 + 17q26−q24−13q22 + 21q20−19q18 + 14q16−3q14−2q12 + 5q10−5q8 + 4q6−q4 + q2

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 20"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−t3 + 5t2−9t + 11−9t−1 + 5t−2−t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−z6−z4 + 2z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 41, -4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

1−2q−1 + 4q−2−5q−3 + 7q−4−7q−5 + 6q−6−5q−7 + 3q−8−q−9

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

−z2a8−a8 + 2z4a6 + 5z2a6 + 2a6−z6a4−4z4a4−5z2a4−2a4 + z4a2 + 3z2a2 + 2a2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z3a11 + 3z4a10−z2a10 + 5z5a9−5z3a9 + 2za9 + 5z6a8−6z4a8 + 3z2a8−a8 + 3z7a7−7z3a7 + 2za7 + z8a6 + 5z6a6−16z4a6 + 10z2a6−2a6 + 5z7a5−12z5a5 + 5z3a5 + z8a4 + z6a4−11z4a4 + 11z2a4−2a4 + 2z7a3−7z5a3 + 6z3a3 + z6a2−4z4a2 + 5z2a2−2a2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 20"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −t3 + 5t2−9t + 11−9t−1 + 5t−2−t−3, 1−2q−1 + 4q−2−5q−3 + 7q−4−7q−5 + 6q−6−5q−7 + 3q−8−q−9 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_149, K11n26,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{K11n90,}

n	Jn
2	q2−2q−1 + 7q−1−5q−2−8q−3 + 18q−4−5q−5−21q−6 + 29q−7−36q−9 + 35q−10 + 7q−11−45q−12 + 33q−13 + 14q−14−43q−15 + 25q−16 + 14q−17−30q−18 + 15q−19 + 7q−20−14q−21 + 6q−22 + 2q−23−3q−24 + q−25
3	q6−2q5−q4 + 2q3 + 6q2−4q−11 + q−1 + 21q−2 + 3q−3−27q−4−17q−5 + 38q−6 + 29q−7−37q−8−50q−9 + 39q−10 + 65q−11−28q−12−87q−13 + 23q−14 + 96q−15−4q−16−113q−17−6q−18 + 114q−19 + 28q−20−123q−21−41q−22 + 120q−23 + 57q−24−115q−25−67q−26 + 105q−27 + 71q−28−90q−29−70q−30 + 76q−31 + 58q−32−57q−33−47q−34 + 44q−35 + 32q−36−31q−37−20q−38 + 21q−39 + 12q−40−15q−41−5q−42 + 8q−43 + 2q−44−3q−45−2q−46 + 3q−47−q−48
4	q12−2q11−q10 + 2q9 + q8 + 7q7−8q6−9q5 + 2q3 + 33q2−7q−25−22q−1−19q−2 + 77q−3 + 24q−4−16q−5−59q−6−94q−7 + 101q−8 + 74q−9 + 51q−10−62q−11−204q−12 + 65q−13 + 87q−14 + 160q−15 + 6q−16−292q−17−13q−18 + 27q−19 + 252q−20 + 124q−21−314q−22−86q−23−90q−24 + 296q−25 + 252q−26−280q−27−134q−28−226q−29 + 298q−30 + 366q−31−212q−32−166q−33−354q−34 + 273q−35 + 454q−36−122q−37−178q−38−455q−39 + 214q−40 + 490q−41−21q−42−150q−43−494q−44 + 130q−45 + 439q−46 + 47q−47−74q−48−431q−49 + 49q−50 + 312q−51 + 52q−52 + 3q−53−294q−54 + 13q−55 + 175q−56 + 10q−57 + 36q−58−155q−59 + 13q−60 + 81q−61−21q−62 + 29q−63−65q−64 + 16q−65 + 32q−66−22q−67 + 14q−68−22q−69 + 9q−70 + 11q−71−10q−72 + 4q−73−5q−74 + 3q−75 + 2q−76−3q−77 + q−78
5	q20−2q19−q18 + 2q17 + q16 + 2q15 + 3q14−6q13−11q12 + 6q10 + 13q9 + 20q8−3q7−32q6−33q5−10q4 + 26q3 + 67q2 + 49q−24−85q−1−98q−2−28q−3 + 99q−4 + 158q−5 + 94q−6−58q−7−204q−8−206q−9−4q−10 + 211q−11 + 289q−12 + 148q−13−163q−14−384q−15−277q−16 + 55q−17 + 380q−18 + 444q−19 + 118q−20−359q−21−536q−22−307q−23 + 211q−24 + 614q−25 + 506q−26−55q−27−579q−28−676q−29−189q−30 + 526q−31 + 808q−32 + 387q−33−365q−34−887q−35−649q−36 + 234q−37 + 934q−38 + 816q−39−22q−40−935q−41−1043q−42−131q−43 + 939q−44 + 1175q−45 + 330q−46−908q−47−1361q−48−486q−49 + 894q−50 + 1482q−51 + 667q−52−847q−53−1623q−54−834q−55 + 794q−56 + 1711q−57 + 1004q−58−698q−59−1762q−60−1149q−61 + 556q−62 + 1745q−63 + 1264q−64−392q−65−1634q−66−1326q−67 + 203q−68 + 1463q−69 + 1298q−70−27q−71−1211q−72−1212q−73−113q−74 + 959q−75 + 1031q−76 + 193q−77−682q−78−832q−79−226q−80 + 470q−81 + 613q−82 + 197q−83−290q−84−414q−85−156q−86 + 169q−87 + 262q−88 + 103q−89−101q−90−144q−91−53q−92 + 47q−93 + 75q−94 + 29q−95−31q−96−35q−97−4q−98 + 16q−99 + 10q−100−2q−101−3q−102−9q−103 + 3q−104 + 11q−105−5q−106−5q−107 + 4q−108−2q−109−q−110 + 5q−111−3q−112−2q−113 + 3q−114−q−115
6	q30−2q29−q28 + 2q27 + q26 + 2q25−2q24 + 5q23−8q22−11q21 + 3q20 + 5q19 + 14q18 + 3q17 + 25q16−17q15−41q14−24q13−12q12 + 27q11 + 23q10 + 109q9 + 22q8−57q7−90q6−109q5−49q4−22q3 + 243q2 + 184q + 88−62q−1−217q−2−287q−3−325q−4 + 204q−5 + 320q−6 + 435q−7 + 283q−8−9q−9−430q−10−849q−11−249q−12 + 18q−13 + 593q−14 + 793q−15 + 731q−16 + 5q−17−1053q−18−838q−19−865q−20 + 33q−21 + 803q−22 + 1568q−23 + 1062q−24−397q−25−804q−26−1744q−27−1183q−28−186q−29 + 1676q−30 + 2041q−31 + 949q−32 + 289q−33−1778q−34−2289q−35−1890q−36 + 688q−37 + 2133q−38 + 2187q−39 + 2082q−40−690q−41−2542q−42−3509q−43−996q−44 + 1158q−45 + 2661q−46 + 3815q−47 + 1083q−48−1848q−49−4466q−50−2685q−51−431q−52 + 2345q−53 + 5003q−54 + 2900q−55−651q−56−4768q−57−3983q−58−2053q−59 + 1658q−60 + 5676q−61 + 4418q−62 + 550q−63−4773q−64−4945q−65−3433q−66 + 1016q−67 + 6136q−68 + 5677q−69 + 1565q−70−4761q−71−5802q−72−4645q−73 + 475q−74 + 6536q−75 + 6838q−76 + 2552q−77−4613q−78−6563q−79−5846q−80−262q−81 + 6595q−82 + 7795q−83 + 3705q−84−3898q−85−6802q−86−6858q−87−1426q−88 + 5798q−89 + 8017q−90 + 4789q−91−2421q−92−5975q−93−7076q−94−2684q−95 + 4049q−96 + 6995q−97 + 5132q−98−696q−99−4123q−100−6036q−101−3274q−102 + 2024q−103 + 4932q−104 + 4330q−105 + 434q−106−2061q−107−4086q−108−2838q−109 + 604q−110 + 2741q−111 + 2797q−112 + 655q−113−632q−114−2152q−115−1811q−116 + 37q−117 + 1200q−118 + 1372q−119 + 365q−120−12q−121−878q−122−878q−123−27q−124 + 421q−125 + 509q−126 + 74q−127 + 118q−128−275q−129−337q−130 + 20q−131 + 123q−132 + 139q−133−41q−134 + 86q−135−63q−136−108q−137 + 32q−138 + 32q−139 + 25q−140−45q−141 + 42q−142−9q−143−30q−144 + 19q−145 + 5q−146 + 4q−147−22q−148 + 16q−149 + q−150−10q−151 + 8q−152−q−153 + q−154−5q−155 + 3q−156 + 2q−157−3q−158 + q−159
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