8 9

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 9"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X6271 X14,8,15,7 X10,3,11,4 X2,13,3,14 X12,5,13,6 X4,11,5,12 X16,10,1,9 X8,16,9,15

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

1, -4, 3, -6, 5, -1, 2, -8, 7, -3, 6, -5, 4, -2, 8, -7

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

6 10 12 14 16 4 2 8

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[3113]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(3,{−1,−1,−1,2,−1,2,2,2})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 3, 8, 3 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{2, 10}, {1, 5}, {9, 4}, {10, 6}, {5, 3}, {4, 2}, {3, 7}, {6, 8}, {7, 9}, {8, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 8_9.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q9−q7 + q5−q3 + q + q−1−q−3 + q−5−q−7 + q−9
2	q26−q24−q22 + 3q20−q18−3q16 + 4q14−5q10 + 3q8 + q6−3q4 + 2q2 + 3 + 2q−2−3q−4 + q−6 + 3q−8−5q−10 + 4q−14−3q−16−q−18 + 3q−20−q−22−q−24 + q−26
3	q51−q49−q47 + q45 + 2q43−q41−4q39 + q37 + 6q35−8q31−3q29 + 9q27 + 7q25−9q23−9q21 + 8q19 + 11q17−6q15−11q13 + 4q11 + 9q9−q7−8q5 + 5q + 5q−1−8q−5−q−7 + 9q−9 + 4q−11−11q−13−6q−15 + 11q−17 + 8q−19−9q−21−9q−23 + 7q−25 + 9q−27−3q−29−8q−31 + 6q−35 + q−37−4q−39−q−41 + 2q−43 + q−45−q−47−q−49 + q−51
4	q84−q82−q80 + q78 + 2q74−3q72−2q70 + 3q68 + q66 + 6q64−6q62−9q60 + q58 + 5q56 + 17q54−3q52−17q50−13q48−2q46 + 31q44 + 16q42−12q40−29q38−21q36 + 31q34 + 32q32 + 4q30−31q28−36q26 + 18q24 + 31q22 + 14q20−19q18−33q16 + 5q14 + 20q12 + 16q10−6q8−20q6−4q4 + 8q2 + 15 + 8q−2−4q−4−20q−6−6q−8 + 16q−10 + 20q−12 + 5q−14−33q−16−19q−18 + 14q−20 + 31q−22 + 18q−24−36q−26−31q−28 + 4q−30 + 32q−32 + 31q−34−21q−36−29q−38−12q−40 + 16q−42 + 31q−44−2q−46−13q−48−17q−50−3q−52 + 17q−54 + 5q−56 + q−58−9q−60−6q−62 + 6q−64 + q−66 + 3q−68−2q−70−3q−72 + 2q−74 + q−78−q−80−q−82 + q−84
5	q125−q123−q121 + q119−q111−q109 + 3q107 + 4q105−q103−4q101−6q99−4q97 + 4q95 + 13q93 + 11q91−3q89−17q87−22q85−8q83 + 17q81 + 36q79 + 28q77−8q75−42q73−51q71−18q69 + 40q67 + 73q65 + 50q63−23q61−87q59−83q57−6q55 + 85q53 + 111q51 + 39q49−72q47−124q45−67q43 + 49q41 + 122q39 + 87q37−25q35−108q33−91q31 + 5q29 + 85q27 + 84q25 + 11q23−63q21−73q19−15q17 + 42q15 + 54q13 + 23q11−22q9−45q7−22q5 + 8q3 + 31q + 31q−1 + 8q−3−22q−5−45q−7−22q−9 + 23q−11 + 54q−13 + 42q−15−15q−17−73q−19−63q−21 + 11q−23 + 84q−25 + 85q−27 + 5q−29−91q−31−108q−33−25q−35 + 87q−37 + 122q−39 + 49q−41−67q−43−124q−45−72q−47 + 39q−49 + 111q−51 + 85q−53−6q−55−83q−57−87q−59−23q−61 + 50q−63 + 73q−65 + 40q−67−18q−69−51q−71−42q−73−8q−75 + 28q−77 + 36q−79 + 17q−81−8q−83−22q−85−17q−87−3q−89 + 11q−91 + 13q−93 + 4q−95−4q−97−6q−99−4q−101−q−103 + 4q−105 + 3q−107−q−109−q−111 + q−119−q−121−q−123 + q−125
6	q174−q172−q170 + q168−2q162 + 2q160−q156 + 5q154 + 2q152−2q150−9q148−2q146−3q144 + 15q140 + 14q138 + 5q136−17q134−14q132−22q130−16q128 + 21q126 + 41q124 + 41q122 + 4q120−14q118−58q116−75q114−28q112 + 36q110 + 91q108 + 86q106 + 70q104−36q102−135q100−149q98−82q96 + 48q94 + 153q92 + 232q90 + 123q88−71q86−232q84−271q82−145q80 + 72q78 + 322q76 + 329q74 + 140q72−149q70−359q68−355q66−134q64 + 243q62 + 408q60 + 333q58 + 39q56−274q54−412q52−292q50 + 73q48 + 316q46 + 360q44 + 164q42−116q40−311q38−296q36−43q34 + 162q32 + 254q30 + 165q28−6q26−163q24−198q22−67q20 + 51q18 + 132q16 + 109q14 + 35q12−60q10−105q8−64q6−5q4 + 61q2 + 79 + 61q−2−5q−4−64q−6−105q−8−60q−10 + 35q−12 + 109q−14 + 132q−16 + 51q−18−67q−20−198q−22−163q−24−6q−26 + 165q−28 + 254q−30 + 162q−32−43q−34−296q−36−311q−38−116q−40 + 164q−42 + 360q−44 + 316q−46 + 73q−48−292q−50−412q−52−274q−54 + 39q−56 + 333q−58 + 408q−60 + 243q−62−134q−64−355q−66−359q−68−149q−70 + 140q−72 + 329q−74 + 322q−76 + 72q−78−145q−80−271q−82−232q−84−71q−86 + 123q−88 + 232q−90 + 153q−92 + 48q−94−82q−96−149q−98−135q−100−36q−102 + 70q−104 + 86q−106 + 91q−108 + 36q−110−28q−112−75q−114−58q−116−14q−118 + 4q−120 + 41q−122 + 41q−124 + 21q−126−16q−128−22q−130−14q−132−17q−134 + 5q−136 + 14q−138 + 15q−140−3q−144−2q−146−9q−148−2q−150 + 2q−152 + 5q−154−q−156 + 2q−160−2q−162 + q−168−q−170−q−172 + q−174

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q12 + q8−q4 + q2−1 + q−2−q−4 + q−8 + q−12
1,1	q36−2q34 + 4q32−8q30 + 13q28−14q26 + 22q24−28q22 + 27q20−28q18 + 24q16−20q14 + 7q12 + 10q10−20q8 + 36q6−47q4 + 56q2−58 + 56q−2−47q−4 + 36q−6−20q−8 + 10q−10 + 7q−12−20q−14 + 24q−16−28q−18 + 27q−20−28q−22 + 22q−24−14q−26 + 13q−28−8q−30 + 4q−32−2q−34 + q−36
2,0	q32 + q26 + q24−q22−q20 + q18−3q14−q12 + q10−2q8−q6 + 3q4 + 3q2 + 2 + 3q−2 + 3q−4−q−6−2q−8 + q−10−q−12−3q−14 + q−18−q−20−q−22 + q−24 + q−26 + q−32
3,0	q60 + q52 + q50−2q48−2q46 + 4q42 + q40−5q38−6q36 + q34 + 7q32 + 2q30−7q28−5q26 + 5q24 + 11q22 + 3q20−6q18−q16 + 5q14 + 5q12−5q10−7q8 + q6 + 4q4 + q2−4 + q−2 + 4q−4 + q−6−7q−8−5q−10 + 5q−12 + 5q−14−q−16−6q−18 + 3q−20 + 11q−22 + 5q−24−5q−26−7q−28 + 2q−30 + 7q−32 + q−34−6q−36−5q−38 + q−40 + 4q−42−2q−46−2q−48 + q−50 + q−52 + q−60

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q28−q26 + q22−3q20 + q18 + 4q16−2q14 + 2q12 + 5q10−2q8−q6 + q4−2q2−2−2q−2 + q−4−q−6−2q−8 + 5q−10 + 2q−12−2q−14 + 4q−16 + q−18−3q−20 + q−22−q−26 + q−28
1,0,0	q15 + 2q11 + q7−q5−q−q−1−q−5 + q−7 + 2q−11 + q−15
1,0,1	q46−2q44 + 3q42−3q40−q38 + 8q36−9q34 + 13q32−3q30−9q28 + 18q26−27q24 + 19q22−2q20−20q18 + 36q16−34q14 + 16q12 + 5q10−22q8 + 21q6−9q4 + 4q2 + 9 + 4q−2−9q−4 + 21q−6−22q−8 + 5q−10 + 16q−12−34q−14 + 36q−16−20q−18−2q−20 + 19q−22−27q−24 + 18q−26−9q−28−3q−30 + 13q−32−9q−34 + 8q−36−q−38−3q−40 + 3q−42−2q−44 + q−46

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q34 + q28−q26−2q24 + q22 + 2q20−q18 + 2q16 + 5q14 + 3q12−q10 + q8 + 2q6−5q4−3q2−3q−2−5q−4 + 2q−6 + q−8−q−10 + 3q−12 + 5q−14 + 2q−16−q−18 + 2q−20 + q−22−2q−24−q−26 + q−28 + q−34
1,0,0,0	q18 + 2q14 + q12 + q10 + q8−q6−2q2−1−2q−2−q−6 + q−8 + q−10 + q−12 + 2q−14 + q−18

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q28−q26 + 2q24−3q22 + 3q20−3q18 + 4q16−2q14 + 2q12 + q10−2q8 + 3q6−5q4 + 6q2−8 + 6q−2−5q−4 + 3q−6−2q−8 + q−10 + 2q−12−2q−14 + 4q−16−3q−18 + 3q−20−3q−22 + 2q−24−q−26 + q−28
1,0	q46−q42−q40 + q38 + 2q36−q34−3q32−q30 + 3q28 + 4q26−q24−3q22 + 4q18 + 2q16−2q14−2q12 + q10 + 2q8−q6−3q4 + 3−3q−4−q−6 + 2q−8 + q−10−2q−12−2q−14 + 2q−16 + 4q−18−3q−22−q−24 + 4q−26 + 3q−28−q−30−3q−32−q−34 + 2q−36 + q−38−q−40−q−42 + q−46

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q38−q36 + q34−2q32 + 2q30−3q28 + 2q26−2q24 + 4q22−q20 + 3q18 + 2q16 + 3q14 + 3q12−2q10 + 2q8−4q6 + 3q4−8q2 + 2−8q−2 + 3q−4−4q−6 + 2q−8−2q−10 + 3q−12 + 3q−14 + 2q−16 + 3q−18−q−20 + 4q−22−2q−24 + 2q−26−3q−28 + 2q−30−2q−32 + q−34−q−36 + q−38

G2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q66−q64 + 2q62−3q60 + q58−3q54 + 6q52−6q50 + 7q48−5q46 + 6q42−10q40 + 12q38−8q36 + 4q34 + 3q32−6q30 + 11q28−6q26 + 2q24 + 4q22−7q20 + 5q18−8q14 + 11q12−10q10 + 9q8−3q6−10q4 + 14q2−17 + 14q−2−10q−4−3q−6 + 9q−8−10q−10 + 11q−12−8q−14 + 5q−18−7q−20 + 4q−22 + 2q−24−6q−26 + 11q−28−6q−30 + 3q−32 + 4q−34−8q−36 + 12q−38−10q−40 + 6q−42−5q−46 + 7q−48−6q−50 + 6q−52−3q−54 + q−58−3q−60 + 2q−62−q−64 + q−66

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 9"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−t3 + 3t2−5t + 7−5t−1 + 3t−2−t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−z6−3z4−2z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 25, 0 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q4−2q3 + 3q2−4q + 5−4q−1 + 3q−2−2q−3 + q−4

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

−z6 + a2z4 + z4a−2−5z4 + 3a2z2 + 3z2a−2−8z2 + 2a2 + 2a−2−3

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

az7 + z7a−1 + 2a2z6 + 2z6a−2 + 4z6 + 2a3z5 + 2z5a−3 + a4z4−4a2z4−4z4a−2 + z4a−4−10z4−4a3z3−az3−z3a−1−4z3a−3−2a4z2 + 4a2z2 + 4z2a−2−2z2a−4 + 12z2 + a3z + az + za−1 + za−3−2a2−2a−2−3

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 9"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −t3 + 3t2−5t + 7−5t−1 + 3t−2−t−3, q4−2q3 + 3q2−4q + 5−4q−1 + 3q−2−2q−3 + q−4 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_155, K11n37,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q12−2q11 + 5q9−6q8−2q7 + 12q6−10q5−7q4 + 20q3−12q2−11q + 25−11q−1−12q−2 + 20q−3−7q−4−10q−5 + 12q−6−2q−7−6q−8 + 5q−9−2q−11 + q−12
3	q24−2q23 + 2q21 + 2q20−5q19−3q18 + 7q17 + 7q16−11q15−11q14 + 12q13 + 19q12−13q11−27q10 + 12q9 + 36q8−10q7−44q6 + 7q5 + 51q4−5q3−54q2 + 59−54q−2−5q−3 + 51q−4 + 7q−5−44q−6−10q−7 + 36q−8 + 12q−9−27q−10−13q−11 + 19q−12 + 12q−13−11q−14−11q−15 + 7q−16 + 7q−17−3q−18−5q−19 + 2q−20 + 2q−21−2q−23 + q−24
4	q40−2q39 + 2q37−q36 + 3q35−7q34 + q33 + 7q32−3q31 + 8q30−19q29−2q28 + 17q27 + q26 + 20q25−39q24−16q23 + 21q22 + 12q21 + 53q20−54q19−44q18 + 4q17 + 20q16 + 105q15−53q14−72q13−31q12 + 15q11 + 159q10−40q9−89q8−64q7 + q6 + 197q5−25q4−93q3−86q2−13q + 213−13q−1−86q−2−93q−3−25q−4 + 197q−5 + q−6−64q−7−89q−8−40q−9 + 159q−10 + 15q−11−31q−12−72q−13−53q−14 + 105q−15 + 20q−16 + 4q−17−44q−18−54q−19 + 53q−20 + 12q−21 + 21q−22−16q−23−39q−24 + 20q−25 + q−26 + 17q−27−2q−28−19q−29 + 8q−30−3q−31 + 7q−32 + q−33−7q−34 + 3q−35−q−36 + 2q−37−2q−39 + q−40
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