8 8

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 8"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3849 X11,15,12,14 X5,13,6,12 X13,7,14,6 X9,1,10,16 X15,11,16,10 X7283

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 8, -2, 1, -4, 5, -8, 2, -6, 7, -3, 4, -5, 3, -7, 6

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 8 12 2 16 14 6 10

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[2312]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{1,1,1,2,−1,−3,2,−3,−3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 9, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{10, 2}, {1, 8}, {4, 9}, {8, 10}, {3, 5}, {2, 4}, {6, 3}, {5, 7}, {9, 6}, {7, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 8_8.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q7 + q5−q3 + 2q + q−1 + q−5−q−7 + q−9−q−11
2	q20−q18−q16 + 2q14−3q12−q10 + 5q8−3q6−2q4 + 5q2−q−2 + q−4 + 3q−6−2q−10 + 3q−12−5q−16 + 2q−18 + 2q−20−4q−22 + q−24 + 3q−26−2q−28−q−30 + q−32
3	−q39 + q37 + q35−q31 + q29 + q27−4q25−q23 + 5q21 + 2q19−9q17−4q15 + 10q13 + 7q11−11q9−7q7 + 7q5 + 11q3−3q−7q−1 + q−3 + 6q−5 + 5q−7−3q−9−6q−11 + q−13 + 9q−15−q−17−9q−19−2q−21 + 10q−23 + 3q−25−10q−27−6q−29 + 9q−31 + 7q−33−6q−35−10q−37 + 3q−39 + 10q−41−8q−45−3q−47 + 6q−49 + 5q−51−3q−53−4q−55 + 2q−59 + q−61−q−63
4	q64−q62−q60−q56 + 3q54−q52 + q50 + 2q48−4q46 + q44−4q42 + 5q40 + 10q38−6q36−8q34−14q32 + 9q30 + 26q28 + q26−17q24−34q22 + 3q20 + 40q18 + 18q16−11q14−43q12−12q10 + 30q8 + 27q6 + 10q4−27q2−21 + 6q−2 + 18q−4 + 18q−6−3q−8−16q−10−15q−12 + 2q−14 + 19q−16 + 14q−18−10q−20−25q−22−3q−24 + 20q−26 + 24q−28−8q−30−33q−32−8q−34 + 19q−36 + 31q−38−3q−40−35q−42−17q−44 + 9q−46 + 37q−48 + 12q−50−26q−52−24q−54−9q−56 + 29q−58 + 24q−60−4q−62−19q−64−26q−66 + 8q−68 + 21q−70 + 13q−72−q−74−22q−76−8q−78 + 4q−80 + 12q−82 + 11q−84−7q−86−7q−88−5q−90 + q−92 + 6q−94 + q−96−2q−100−q−102 + q−104
5	−q95 + q93 + q91 + q87−q85−3q83−q81 + q79 + 4q75 + 3q73−2q71−6q69−6q67 + 9q63 + 15q61 + 7q59−16q57−27q55−13q53 + 18q51 + 43q49 + 34q47−19q45−68q43−55q41 + 10q39 + 83q37 + 87q35 + 7q33−94q31−118q29−36q27 + 85q25 + 139q23 + 63q21−64q19−131q17−93q15 + 31q13 + 120q11 + 99q9 + 3q7−78q5−93q3−33q + 47q−1 + 77q−3 + 48q−5−9q−7−50q−9−53q−11−20q−13 + 30q−15 + 53q−17 + 35q−19−10q−21−54q−23−52q−25 + 3q−27 + 59q−29 + 57q−31 + 2q−33−62q−35−71q−37−3q−39 + 74q−41 + 77q−43 + 9q−45−78q−47−92q−49−16q−51 + 80q−53 + 103q−55 + 31q−57−73q−59−114q−61−50q−63 + 57q−65 + 111q−67 + 73q−69−30q−71−106q−73−89q−75 + 82q−79 + 96q−81 + 36q−83−52q−85−89q−87−58q−89 + 15q−91 + 68q−93 + 67q−95 + 21q−97−38q−99−63q−101−41q−103 + 7q−105 + 42q−107 + 45q−109 + 19q−111−19q−113−37q−115−28q−117−q−119 + 20q−121 + 25q−123 + 15q−125−6q−127−17q−129−14q−131−3q−133 + 5q−135 + 9q−137 + 7q−139−q−141−4q−143−3q−145−q−147 + 2q−151 + q−153−q−155

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q10−q4 + 2q2 + 1 + 2q−2 + q−4 + q−8−q−10−q−16
1,1	q28−2q26 + 4q24−6q22 + 9q20−12q18 + 14q16−20q14 + 19q12−24q10 + 22q8−22q6 + 18q4−4q2 + 20q−2−27q−4 + 44q−6−48q−8 + 56q−10−52q−12 + 48q−14−40q−16 + 24q−18−15q−20−4q−22 + 14q−24−24q−26 + 31q−28−32q−30 + 30q−32−24q−34 + 17q−36−12q−38 + 6q−40−2q−42 + q−44
2,0	q26−q22 + q18−q16−3q14 + 2q10−3q8−3q6 + 2q4 + 2q2 + 2 + 2q−2 + 5q−4 + 2q−6 + 2q−8 + 3q−10 + q−12−2q−14−4q−20−3q−22 + q−26−q−28−q−30 + 2q−32 + q−34−q−36−q−38 + q−42
3,0	−q48 + q44 + q42−2q38 + 2q36 + 3q34 + q32−4q30−5q28 + 4q26 + 6q24−q22−10q20−8q18 + 8q16 + 9q14−3q12−13q10−8q8 + 8q6 + 6q4−4 + 4q−2 + 10q−4 + 8q−6 + 3q−8 + 3q−10 + 7q−12 + 2q−14−3q−16−2q−18 + 3q−20 + 2q−22−8q−24−9q−26 + 6q−30 + q−32−10q−34−7q−36 + 4q−38 + 8q−40 + 2q−42−8q−44−5q−46 + 3q−48 + 7q−50 + 4q−52−5q−54−4q−56 + 5q−60 + 4q−62−2q−64−3q−66−3q−68 + q−70 + 2q−72 + q−74−q−78

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q22−q20 + 2q16−3q14−3q12 + 2q10−3q8−3q6 + 5q4 + q2 + 2 + 4q−2 + 3q−4 + q−6 + 3q−10 + 2q−12−3q−14 + q−16 + q−18−5q−20−q−22 + q−24−3q−26 + q−28 + q−30−q−32 + q−34
1,0,0	−q13−q9−q5 + 2q3 + q + 2q−1 + 2q−3 + q−5 + q−7 + q−11−q−13−q−17−q−21

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q28 + q22 + q20−2q18−4q16−2q14−q12−4q10−4q8 + 3q6 + 2q4 + q2 + 4 + 7q−2 + 4q−4 + 3q−6 + 5q−8 + 4q−10 + 2q−14 + 4q−16−2q−18−3q−20 + q−22−2q−24−6q−26−4q−28−q−32−2q−34 + q−36 + 2q−38 + q−44
1,0,0,0	−q16−q12−q10−q6 + 2q4 + q2 + 2 + 2q−2 + 2q−4 + q−6 + q−8 + q−10 + q−14−q−16−q−20−q−22−q−26

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q22 + q20−2q18 + 2q16−3q14 + 3q12−4q10 + 3q8−q6 + q4 + 3q2−2 + 6q−2−5q−4 + 7q−6−6q−8 + 5q−10−4q−12 + 3q−14−q−16−q−18 + 3q−20−3q−22 + 3q−24−3q−26 + 3q−28−3q−30 + q−32−q−34
1,0	q36−q32−q30 + q28 + 2q26−3q22−3q20 + 3q16−4q12−2q10 + 2q8 + 4q6−q4−q2 + 2 + 5q−2 + q−4−q−6 + 3q−10 + 2q−12−q−14−q−16 + 2q−18 + 2q−20−q−22−3q−24 + 3q−28 + q−30−4q−32−4q−34 + q−36 + 3q−38−3q−42−2q−44 + 2q−46 + 2q−48−q−50−q−52 + q−56

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q30−q28 + q26−q24 + 2q22−3q20−4q16 + 2q14−4q12−2q8 + 2q6 + 3q4 + q2 + 5−q−2 + 7q−4−2q−6 + 6q−8−4q−10 + 6q−12−2q−14 + 5q−16−2q−18 + 2q−20−q−22−q−24−q−26−4q−28 + q−30−4q−32 + q−34−3q−36 + 3q−38−2q−40 + 2q−42−q−44 + q−46

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q52−q50 + 2q48−2q46−3q40 + 4q38−5q36 + 4q34−5q32 + q30 + 3q28−6q26 + 8q24−9q22 + 7q20−4q18−3q16 + 7q14−8q12 + 9q10−q8−3q6 + 6q4−3q2 + 1 + 6q−2−10q−4 + 12q−6−5q−8 + 10q−12−14q−14 + 17q−16−11q−18 + 3q−20 + 4q−22−9q−24 + 14q−26−10q−28 + 6q−30 + q−32−5q−34 + 7q−36−5q−38 + 4q−42−8q−44 + 7q−46−3q−48−4q−50 + 10q−52−13q−54 + 10q−56−5q−58−4q−60 + 7q−62−10q−64 + 9q−66−5q−68 + 2q−72−4q−74 + 3q−76−q−78 + q−80

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 8"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

2t2−6t + 9−6t−1 + 2t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

2z4 + 2z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 25, 0 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

−q5 + 2q4−3q3 + 4q2−4q + 5−3q−1 + 2q−2−q−3

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z4a−2 + z4−a2z2 + 2z2a−2−z2a−4 + 2z2−a2 + a−2−a−4 + 2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z7a−1 + z7a−3 + 4z6a−2 + 2z6a−4 + 2z6 + 2az5 + z5a−1 + z5a−5 + 2a2z4−9z4a−2−6z4a−4−z4 + a3z3−3z3a−1−5z3a−3−3z3a−5−2a2z2 + 5z2a−2 + 4z2a−4−z2−a3z−az + za−1 + 3za−3 + 2za−5 + a2−a−2−a−4 + 2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 8"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ 2t2−6t + 9−6t−1 + 2t−2, −q5 + 2q4−3q3 + 4q2−4q + 5−3q−1 + 2q−2−q−3 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_129, K11n39, K11n45, K11n50, K11n132,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{10_129,}

n	Jn
2	q15−2q14−q13 + 6q12−4q11−6q10 + 12q9−4q8−13q7 + 17q6−q5−18q4 + 19q3 + 2q2−20q + 17 + 3q−1−15q−2 + 10q−3 + 2q−4−7q−5 + 4q−6−2q−8 + q−9
3	−q30 + 2q29 + q28−2q27−5q26 + 3q25 + 9q24−q23−14q22−2q21 + 17q20 + 9q19−21q18−15q17 + 21q16 + 22q15−19q14−30q13 + 17q12 + 35q11−12q10−42q9 + 10q8 + 43q7−2q6−50q5 + 3q4 + 46q3 + 6q2−49q−2 + 38q−1 + 10q−2−35q−3−6q−4 + 24q−5 + 6q−6−17q−7−3q−8 + 10q−9 + q−10−6q−11 + 4q−13−2q−14−q−15 + 2q−17−q−18
4	q50−2q49−q48 + 2q47 + q46 + 6q45−7q44−7q43 + q41 + 24q40−6q39−15q38−12q37−13q36 + 45q35 + 8q34−7q33−25q32−47q31 + 52q30 + 23q29 + 21q28−20q27−85q26 + 37q25 + 21q24 + 59q23 + 5q22−113q21 + 11q20 + 3q19 + 91q18 + 39q17−125q16−16q15−22q14 + 116q13 + 71q12−129q11−39q10−44q9 + 131q8 + 95q7−124q6−56q5−61q4 + 130q3 + 108q2−103q−56−73q−1 + 103q−2 + 102q−3−66q−4−39q−5−70q−6 + 61q−7 + 71q−8−34q−9−10q−10−48q−11 + 24q−12 + 34q−13−17q−14 + 8q−15−23q−16 + 7q−17 + 11q−18−11q−19 + 10q−20−7q−21 + 2q−22 + 2q−23−6q−24 + 5q−25−q−26 + q−27−2q−29 + q−30
5	−q75 + 2q74 + q73−2q72−q71−2q70−2q69 + 5q68 + 9q67−5q65−10q64−13q63 + 2q62 + 20q61 + 21q60 + 5q59−15q58−34q57−25q56 + 11q55 + 39q54 + 43q53 + 11q52−37q51−60q50−37q49 + 17q48 + 68q47 + 70q46 + 9q45−59q44−90q43−56q42 + 37q41 + 107q40 + 97q39 + q38−104q37−138q36−52q35 + 90q34 + 173q33 + 104q32−66q31−192q30−159q29 + 26q28 + 214q27 + 208q26 + 6q25−215q24−255q23−50q22 + 228q21 + 295q20 + 74q19−218q18−332q17−118q16 + 237q15 + 359q14 + 129q13−216q12−388q11−173q10 + 235q9 + 403q8 + 174q7−198q6−411q5−223q4 + 202q3 + 406q2 + 215q−141−382q−1−253q−2 + 122q−3 + 346q−4 + 230q−5−60q−6−286q−7−232q−8 + 33q−9 + 222q−10 + 192q−11 + 7q−12−159q−13−156q−14−21q−15 + 101q−16 + 110q−17 + 31q−18−58q−19−76q−20−25q−21 + 28q−22 + 45q−23 + 18q−24−9q−25−23q−26−16q−27 + 3q−28 + 14q−29 + 4q−30 + 2q−31−8q−33−3q−34 + 5q−35−2q−36 + 2q−37 + 4q−38−3q−39−2q−40 + q−41−q−42 + 2q−44−q−45
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