8 21

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 21"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3849 X12,6,13,5 X13,16,14,1 X9,14,10,15 X15,10,16,11 X6,12,7,11 X7283

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 8, -2, 1, 3, -7, -8, 2, -5, 6, 7, -3, -4, 5, -6, 4

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 8 -12 2 14 -6 16 10

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[21,21,2-]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(3,{−1,−1,−1,−2,1,1,−2,−2})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 3, 8, 3 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{9, 3}, {2, 7}, {6, 8}, {7, 9}, {4, 1}, {3, 6}, {5, 2}, {8, 4}, {1, 5}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 8_21.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q15−q13−q9 + q5 + 2q
2	q42−q40−2q38 + 2q36 + q34−2q32 + q30 + 2q28−2q26 + q22−q20−q18 + 2q14−2q12−q10 + 3q8−q6−q4 + 3q2 + 1
3	q81−q79−2q77 + 3q73 + 3q71−3q69−4q67 + q65 + 5q63 + q61−6q59−4q57 + 5q55 + 4q53−3q51−4q49 + 4q47 + 5q45−2q43−3q41 + 2q37−q35−2q33−3q31 + 2q29 + 4q27−6q23−q21 + 7q19 + 3q17−6q15−3q13 + 4q11 + 4q9−2q7−4q5 + 2q3 + 2q + 2q−1
4	q132−q130−2q128 + q124 + 5q122 + q120−3q118−5q116−6q114 + 6q112 + 8q110 + 4q108−4q106−14q104−4q102 + 7q100 + 15q98 + 8q96−13q94−14q92−3q90 + 15q88 + 15q86−6q84−16q82−11q80 + 9q78 + 14q76−q74−10q72−8q70 + 6q68 + 11q66 + 2q64−5q62−5q60 + 2q58 + 5q56 + 4q54−2q52−5q50−6q48 + 11q44 + 4q42−6q40−15q38−7q36 + 15q34 + 14q32 + q30−18q28−15q26 + 11q24 + 16q22 + 10q20−9q18−15q16 + 7q12 + 10q10−7q6−3q4−q2 + 3 + 3q−2 + q−4
5	q195−q193−2q191 + q187 + 3q185 + 3q183 + q181−5q179−7q177−4q175 + q173 + 8q171 + 12q169 + 7q167−8q165−16q163−15q161−3q159 + 16q157 + 26q155 + 18q153−8q151−29q149−32q147−11q145 + 25q143 + 42q141 + 26q139−14q137−45q135−41q133 + 41q129 + 49q127 + 17q125−33q123−49q121−23q119 + 22q117 + 46q115 + 27q113−14q111−40q109−26q107 + 9q105 + 30q103 + 21q101−7q99−24q97−18q95 + 5q93 + 18q91 + 11q89−q87−11q85−12q83 + 9q79 + 10q77 + 9q75−2q73−15q71−15q69−q67 + 17q65 + 27q63 + 12q61−19q59−37q57−25q55 + 15q53 + 45q51 + 36q49−9q47−50q45−48q43−7q41 + 46q39 + 54q37 + 16q35−32q33−52q31−27q29 + 16q27 + 43q25 + 33q23−q21−24q19−25q17−9q15 + 10q13 + 21q11 + 10q9−2q7−6q5−10q3−4q + 2q−1 + 4q−3 + 2q−5 + 2q−7
6	q270−q268−2q266 + q262 + 3q260 + q258 + 3q256−q254−7q252−6q250−4q248 + 2q246 + 5q244 + 15q242 + 11q240 + q238−10q236−19q234−19q232−16q230 + 14q228 + 31q226 + 34q224 + 21q222−5q220−35q218−61q216−40q214−q212 + 46q210 + 71q208 + 68q206 + 18q204−60q202−94q200−86q198−21q196 + 59q194 + 123q192 + 109q190 + 19q188−76q186−137q184−114q182−24q180 + 99q178 + 150q176 + 105q174−113q170−148q168−94q166 + 35q164 + 126q162 + 130q160 + 56q158−58q156−121q154−104q152−6q150 + 78q148 + 101q146 + 57q144−24q142−77q140−75q138−11q136 + 42q134 + 58q132 + 33q130−12q128−40q126−40q124−6q122 + 22q120 + 32q118 + 19q116−3q114−20q112−26q110−15q108 + 3q106 + 25q104 + 27q102 + 19q100−6q98−32q96−47q94−28q92 + 23q90 + 55q88 + 68q86 + 28q84−36q82−95q80−90q78−11q76 + 72q74 + 129q72 + 96q70−3q68−122q66−156q64−80q62 + 39q60 + 148q58 + 156q56 + 68q54−81q52−163q50−134q48−39q46 + 86q44 + 147q42 + 118q40 + 7q38−86q36−112q34−83q32−6q30 + 64q28 + 91q26 + 51q24 + 3q22−35q20−53q18−35q16−4q14 + 26q12 + 27q10 + 19q8 + 8q6−8q4−15q2−11−3q−2 + q−4 + 3q−6 + 3q−8 + 3q−10 + q−12

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q22−2q14−q12−q10 + q8 + 2q6 + q4 + 2q2
1,1	q60−2q58 + 4q56−8q54 + 9q52−10q50 + 12q48−8q46 + 4q44−8q40 + 10q38−15q36 + 18q34−16q32 + 20q30−12q28 + 12q26−6q24−2q22 + q20−14q18 + 8q16−12q14 + 10q12−4q10 + 8q8 + 2q6 + 4q4 + 2q2
2,0	q56−q52−q50 + q46−q44 + q40−q36 + 2q32 + 2q30 + q28 + q26−q24−3q22−2q20−2q18−3q16−q14 + 2q12 + 2q10 + 2q8 + 2q6 + 4q4 + q2

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q48−q46−3q40 + q38 + q36 + 3q32 + 4q30 + q28−2q24−4q22−5q20−5q18 + 2q12 + 6q10 + 3q8 + q6 + 3q4
1,0,0	q29 + q25−2q19−2q17−2q15−q13 + q11 + 2q9 + 3q7 + q5 + 2q3
1,0,1	q78−2q76 + 3q74−3q72−q70 + 5q68−8q66 + 10q64−6q62 + 2q60 + 5q58−11q56 + 12q54−12q52 + 2q50−q48−6q46 + q44 + q42 + 6q40 + 3q38 + 18q36−3q34 + 13q32−5q30−11q28−2q26−25q24−2q22−11q20−4q18 + 9q16 + 3q14 + 12q12 + 10q10 + 5q8 + 5q6 + 2q4

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q62 + q56−q54−4q52−3q50−q48−q46 + q44 + 6q42 + 9q40 + 6q38 + 5q36 + 3q34−4q32−9q30−8q28−10q26−9q24−4q22 + q20 + 3q18 + 4q16 + 8q14 + 7q12 + 4q10 + 2q8 + 3q6
1,0,0,0	q36 + q32 + q30−2q24−2q22−3q20−2q18−q16 + q14 + 2q12 + 3q10 + 3q8 + q6 + 2q4

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q48−q46 + 2q44−2q42 + q40−q38 + q36−q32 + 2q30−3q28 + 2q26−4q24 + 2q22−3q20 + q18 + 2q12 + 3q8−q6 + 3q4
1,0	q78−q74−q72 + q70 + q68−2q66−2q64 + 2q60 + q58−q56 + 2q52 + 2q50 + q48 + q44 + q42−3q38−2q36−q34−q32−3q30−3q28 + q24−q20 + 2q18 + 3q16 + 3q14 + q8 + 3q6

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q66−q64 + q62−2q60 + q58−2q56−q52 + q50 + q48 + q46 + 4q44 + 2q42 + 4q40−q38 + 2q36−4q34−q32−7q30−4q28−6q26−2q24−q22 + 3q18 + 3q16 + 6q14 + 3q12 + 4q10 + 3q6

G2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q114−q112 + 2q110−3q108 + q104−4q102 + 5q100−4q98 + 3q96 + q94−4q92 + 5q90−2q88 + 2q86 + 2q84−4q82 + 4q80 + 2q78−2q76 + 4q74−4q72 + 3q70−4q66 + 3q64−7q62 + 5q60−4q58−3q56 + 2q54−6q52 + 4q50−5q48−q46 + 2q44−3q42 + 2q40−3q36 + 7q34−2q32 + 3q28−3q26 + 7q24−2q22 + 2q20 + q18−q16 + 4q14−q12 + 2q10 + q8

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 21"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−t2 + 4t−5 + 4t−1−t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

1−z4

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 15, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

2q−1−2q−2 + 3q−3−3q−4 + 2q−5−2q−6 + q−7

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z2a6 + a6−z4a4−3z2a4−3a4 + 2z2a2 + 3a2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z4a8−2z2a8 + 2z5a7−5z3a7 + 2za7 + z6a6−z4a6−a6 + 3z5a5−6z3a5 + 4za5 + z6a4−2z4a4 + 5z2a4−3a4 + z5a3−z3a3 + 2za3 + 3z2a2−3a2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 21"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −t2 + 4t−5 + 4t−1−t−2, 2q−1−2q−2 + 3q−3−3q−4 + 2q−5−2q−6 + q−7 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_136,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q−1 + 2q−2−4q−3 + q−4 + 6q−5−8q−6 + 10q−8−10q−9−q−10 + 10q−11−8q−12−2q−13 + 8q−14−4q−15−3q−16 + 5q−17−q−18−2q−19 + q−20
3	2q−1−6q−4 + 4q−5 + 6q−6−13q−8 + q−9 + 15q−10 + 4q−11−21q−12−4q−13 + 21q−14 + 8q−15−23q−16−9q−17 + 22q−18 + 9q−19−20q−20−11q−21 + 19q−22 + 10q−23−13q−24−12q−25 + 11q−26 + 11q−27−6q−28−11q−29 + 2q−30 + 9q−31 + q−32−7q−33−2q−34 + 4q−35 + 2q−36−q−37−2q−38 + q−39
4	1 + 2q−1−4q−3−2q−4−3q−5 + 9q−6 + 10q−7−7q−8−9q−9−18q−10 + 15q−11 + 29q−12−q−13−14q−14−44q−15 + 12q−16 + 48q−17 + 12q−18−13q−19−66q−20 + 4q−21 + 57q−22 + 22q−23−6q−24−77q−25−2q−26 + 58q−27 + 25q−28−76q−30−5q−31 + 51q−32 + 25q−33 + 7q−34−67q−35−10q−36 + 37q−37 + 23q−38 + 16q−39−52q−40−15q−41 + 17q−42 + 18q−43 + 26q−44−31q−45−15q−46−q−47 + 7q−48 + 27q−49−10q−50−8q−51−9q−52−4q−53 + 17q−54−5q−57−6q−58 + 5q−59 + q−60 + 2q−61−q−62−2q−63 + q−64
5	2q + 2q−1−2q−2−6q−3−6q−4 + 6q−5 + 4q−6 + 14q−7 + 9q−8−17q−9−25q−10−10q−11 + 5q−12 + 37q−13 + 43q−14−7q−15−52q−16−53q−17−20q−18 + 57q−19 + 91q−20 + 31q−21−60q−22−106q−23−61q−24 + 55q−25 + 132q−26 + 76q−27−51q−28−136q−29−101q−30 + 43q−31 + 150q−32 + 107q−33−36q−34−146q−35−119q−36 + 29q−37 + 150q−38 + 120q−39−25q−40−145q−41−120q−42 + 20q−43 + 138q−44 + 121q−45−15q−46−133q−47−113q−48 + 7q−49 + 115q−50 + 115q−51 + 2q−52−105q−53−104q−54−14q−55 + 80q−56 + 101q−57 + 28q−58−64q−59−85q−60−38q−61 + 35q−62 + 75q−63 + 44q−64−14q−65−53q−66−46q−67−6q−68 + 34q−69 + 40q−70 + 17q−71−13q−72−30q−73−23q−74−2q−75 + 19q−76 + 20q−77 + 8q−78−4q−79−15q−80−12q−81 + 8q−83 + 7q−84 + 4q−85−7q−87−4q−88 + q−89 + 2q−90 + q−91 + 2q−92−q−93−2q−94 + q−95
6	q3 + 2q2−2q−1−4q−2−8q−3−3q−4 + 9q−5 + 16q−6 + 11q−7 + 6q−8−5q−9−38q−10−34q−11−9q−12 + 34q−13 + 49q−14 + 54q−15 + 35q−16−65q−17−104q−18−86q−19 + 5q−20 + 75q−21 + 147q−22 + 146q−23−36q−24−165q−25−211q−26−90q−27 + 46q−28 + 229q−29 + 295q−30 + 52q−31−173q−32−320q−33−209q−34−30q−35 + 263q−36 + 414q−37 + 151q−38−140q−39−377q−40−292q−41−109q−42 + 258q−43 + 473q−44 + 215q−45−100q−46−390q−47−324q−48−160q−49 + 239q−50 + 488q−51 + 241q−52−75q−53−382q−54−326q−55−182q−56 + 221q−57 + 477q−58 + 247q−59−58q−60−360q−61−313q−62−192q−63 + 193q−64 + 443q−65 + 247q−66−30q−67−315q−68−288q−69−208q−70 + 140q−71 + 379q−72 + 245q−73 + 23q−74−234q−75−244q−76−231q−77 + 56q−78 + 281q−79 + 228q−80 + 86q−81−120q−82−170q−83−235q−84−35q−85 + 152q−86 + 174q−87 + 121q−88−7q−89−65q−90−190q−91−86q−92 + 29q−93 + 84q−94 + 98q−95 + 54q−96 + 30q−97−100q−98−72q−99−35q−100 + 4q−101 + 33q−102 + 46q−103 + 64q−104−22q−105−22q−106−32q−107−21q−108−14q−109 + 7q−110 + 43q−111 + 4q−112 + 8q−113−6q−114−8q−115−17q−116−10q−117 + 13q−118 + q−119 + 8q−120 + 3q−121 + 3q−122−7q−123−6q−124 + 3q−125−2q−126 + 2q−127 + q−128 + 2q−129−q−130−2q−131 + q−132
7	2q5 + 2q3−2q−6−4q−1−6q−2 + 4q−4 + 16q−5 + 24q−6 + 15q−7−9q−8−23q−9−37q−10−45q−11−25q−12 + 17q−13 + 81q−14 + 98q−15 + 55q−16 + 8q−17−74q−18−151q−19−161q−20−87q−21 + 83q−22 + 223q−23 + 236q−24 + 188q−25 + 3q−26−240q−27−376q−28−357q−29−83q−30 + 249q−31 + 454q−32 + 510q−33 + 257q−34−187q−35−546q−36−691q−37−415q−38 + 115q−39 + 563q−40 + 832q−41 + 601q−42 + 6q−43−578q−44−954q−45−745q−46−115q−47 + 541q−48 + 1023q−49 + 886q−50 + 224q−51−512q−52−1072q−53−964q−54−303q−55 + 451q−56 + 1086q−57 + 1036q−58 + 372q−59−424q−60−1093q−61−1056q−62−406q−63 + 378q−64 + 1078q−65 + 1082q−66 + 436q−67−359q−68−1072q−69−1078q−70−446q−71 + 336q−72 + 1051q−73 + 1075q−74 + 455q−75−314q−76−1032q−77−1068q−78−461q−79 + 299q−80 + 1000q−81 + 1043q−82 + 468q−83−255q−84−956q−85−1032q−86−482q−87 + 220q−88 + 897q−89 + 985q−90 + 499q−91−139q−92−812q−93−954q−94−527q−95 + 70q−96 + 711q−97 + 879q−98 + 546q−99 + 40q−100−572q−101−813q−102−564q−103−136q−104 + 432q−105 + 694q−106 + 552q−107 + 245q−108−268q−109−572q−110−524q−111−311q−112 + 113q−113 + 415q−114 + 454q−115 + 361q−116 + 24q−117−269q−118−352q−119−353q−120−123q−121 + 117q−122 + 236q−123 + 315q−124 + 173q−125−7q−126−119q−127−232q−128−178q−129−65q−130 + 15q−131 + 146q−132 + 147q−133 + 92q−134 + 45q−135−69q−136−87q−137−78q−138−78q−139 + 3q−140 + 44q−141 + 56q−142 + 69q−143 + 14q−144−q−145−12q−146−54q−147−29q−148−15q−149 + 2q−150 + 29q−151 + 12q−152 + 15q−153 + 17q−154−8q−155−11q−156−14q−157−12q−158 + 6q−159−q−160 + 3q−161 + 10q−162 + 3q−163 + 2q−164−4q−165−6q−166 + q−167−2q−169 + 2q−170 + q−171 + 2q−172−q−173−2q−174 + q−175