8 16

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 16"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X6271 X14,6,15,5 X16,11,1,12 X12,7,13,8 X8394 X4,9,5,10 X10,15,11,16 X2,14,3,13

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

1, -8, 5, -6, 2, -1, 4, -5, 6, -7, 3, -4, 8, -2, 7, -3

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

6 8 14 12 4 16 2 10

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[.2.20]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(3,{−1,−1,2,−1,−1,2,−1,2})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 3, 8, 3 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{3, 10}, {2, 6}, {8, 11}, {9, 7}, {4, 8}, {6, 9}, {5, 3}, {10, 4}, {1, 5}, {11, 2}, {7, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 8_16.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q13 + 2q11−2q9 + q7 + 2q−q−1 + 2q−3−q−5
2	q36−2q34 + 5q30−7q28−2q26 + 11q24−6q22−5q20 + 8q18−q16−5q14 + q12 + 5q10−2q8−5q6 + 7q4 + 2q2−9 + 6q−2 + 6q−4−8q−6 + q−8 + 6q−10−3q−12−2q−14 + q−16
3	−q69 + 2q67−3q63 + q61 + 6q59−16q55 + 26q51 + 6q49−33q47−19q45 + 35q43 + 28q41−30q39−32q37 + 19q35 + 34q33−5q31−28q29−8q27 + 20q25 + 15q23−12q21−24q19 + 5q17 + 29q15 + 2q13−32q11−6q9 + 34q7 + 16q5−32q3−25q + 28q−1 + 31q−3−16q−5−35q−7 + 5q−9 + 33q−11 + 7q−13−24q−15−13q−17 + 12q−19 + 15q−21−4q−23−9q−25−2q−27 + 3q−29 + 2q−31−q−33
4	q112−2q110 + 3q106−3q104−4q100 + 8q98 + 13q96−16q94−17q92−17q90 + 36q88 + 65q86−17q84−75q82−91q80 + 44q78 + 160q76 + 60q74−91q72−198q70−38q68 + 185q66 + 163q64−9q62−209q60−134q58 + 86q56 + 165q54 + 89q52−103q50−139q48−29q46 + 81q44 + 115q42 + 12q40−83q38−95q36 + 3q34 + 104q32 + 79q30−45q28−130q26−38q24 + 99q22 + 130q20−20q18−163q16−79q14 + 87q12 + 180q10 + 32q8−165q6−139q4 + 17q2 + 193 + 119q−2−89q−4−164q−6−94q−8 + 114q−10 + 158q−12 + 35q−14−91q−16−144q−18−9q−20 + 90q−22 + 89q−24 + 18q−26−80q−28−56q−30−4q−32 + 41q−34 + 45q−36−6q−38−20q−40−20q−42−3q−44 + 12q−46 + 5q−48 + 2q−50−3q−52−2q−54 + q−56
5	−q165 + 2q163−3q159 + 3q157 + 2q155−2q153−4q151−5q149 + 16q145 + 23q143−5q141−47q139−56q137 + q135 + 88q133 + 133q131 + 54q129−148q127−270q125−158q123 + 161q121 + 436q119 + 366q117−87q115−593q113−639q111−92q109 + 642q107 + 901q105 + 381q103−545q101−1081q99−686q97 + 319q95 + 1079q93 + 926q91−9q89−909q87−1027q85−283q83 + 632q81 + 953q79 + 492q77−306q75−772q73−588q71 + 26q69 + 532q67 + 573q65 + 188q63−301q61−515q59−314q57 + 121q55 + 446q53 + 394q51−6q49−406q47−447q45−64q43 + 409q41 + 512q39 + 102q37−444q35−591q33−159q31 + 485q29 + 704q27 + 242q25−502q23−819q21−375q19 + 450q17 + 918q15 + 557q13−325q11−945q9−746q7 + 108q5 + 868q3 + 905q + 178q−1−685q−3−956q−5−454q−7 + 383q−9 + 878q−11 + 668q−13−46q−15−663q−17−733q−19−257q−21 + 361q−23 + 642q−25 + 439q−27−53q−29−440q−31−465q−33−162q−35 + 194q−37 + 354q−39 + 259q−41 + 4q−43−201q−45−224q−47−99q−49 + 52q−51 + 134q−53 + 115q−55 + 21q−57−52q−59−68q−61−39q−63 + 26q−67 + 28q−69 + 8q−71−5q−73−8q−75−5q−77−2q−79 + 3q−81 + 2q−83−q−85
6	q228−2q226 + 3q222−3q220−2q218 + 10q214 + q212−8q210−19q206−10q204 + 21q202 + 57q200 + 33q198−31q196−73q194−135q192−75q190 + 106q188 + 304q186 + 281q184 + 25q182−308q180−659q178−562q176 + 42q174 + 883q172 + 1266q170 + 813q168−284q166−1689q164−2162q162−1163q160 + 975q158 + 2814q156 + 3056q154 + 1343q152−1837q150−4170q148−3998q146−992q144 + 2915q142 + 5291q140 + 4527q138 + 469q136−4039q134−6182q132−4287q130 + 289q128 + 4762q126 + 6374q124 + 3726q122−1108q120−5157q118−5719q116−2863q114 + 1612q112 + 4916q110 + 4828q108 + 1928q106−1918q104−4121q102−3794q100−1232q98 + 1821q96 + 3366q94 + 2838q92 + 684q90−1514q88−2714q86−2150q84−380q82 + 1434q80 + 2265q78 + 1615q76 + 57q74−1565q72−2025q70−1146q68 + 573q66 + 1878q64 + 1816q62 + 420q60−1428q58−2213q56−1420q54 + 671q52 + 2378q50 + 2383q48 + 523q46−1971q44−3147q42−2159q40 + 730q38 + 3282q36 + 3646q34 + 1333q32−2119q30−4283q28−3695q26−273q24 + 3444q22 + 5009q20 + 3166q18−818q16−4378q14−5287q12−2546q10 + 1786q8 + 5046q6 + 5012q4 + 1936q2−2346−5245q−2−4675q−4−1385q−6 + 2685q−8 + 4881q−10 + 4252q−12 + 1110q−14−2616q−16−4443q−18−3709q−20−876q−22 + 2111q−24 + 3844q−26 + 3229q−28 + 835q−30−1658q−32−3060q−34−2633q−36−978q−38 + 1160q−40 + 2332q−42 + 2106q−44 + 900q−46−623q−48−1572q−50−1682q−52−795q−54 + 263q−56 + 992q−58 + 1131q−60 + 696q−62 + 16q−64−602q−66−702q−68−501q−70−106q−72 + 244q−74 + 412q−76 + 347q−78 + 92q−80−78q−82−190q−84−179q−86−97q−88 + 17q−90 + 83q−92 + 70q−94 + 51q−96 + 7q−98−20q−100−34q−102−16q−104 + q−108 + 8q−110 + 5q−112 + 2q−114−3q−116−2q−118 + q−120

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q18 + q16−q14 + q10−q8 + 2q6−q4 + 2q2 + 1 + q−4−q−6
1,1	q52−4q50 + 8q48−12q46 + 22q44−36q42 + 46q40−62q38 + 82q36−92q34 + 96q32−90q30 + 67q28−34q26−18q24 + 70q22−120q20 + 166q18−188q16 + 200q14−190q12 + 164q10−124q8 + 70q6−20q4−28q2 + 76−100q−2 + 115q−4−106q−6 + 94q−8−70q−10 + 44q−12−28q−14 + 12q−16−4q−18 + q−20
2,0	q46−q44 + 2q40−2q38−2q36 + 3q32−2q30−4q28 + 4q26 + 2q24−3q22 + 4q18−q16−q14 + 2q12−3q8−q6 + 4q4−2q2 + 6q−2 + 3q−4−2q−6 + 2q−10−3q−14−q−16 + q−18

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q42−2q40−q38 + 5q36−3q34−3q32 + 8q30−4q28−5q26 + 6q24−4q22−4q20 + 2q18 + q16−q12 + 5q10 + 4q8−5q6 + 4q4 + 6q2−6 + 2q−2 + 4q−4−6q−6 + 2q−8 + q−10−2q−12 + q−14
1,0,0	−q23 + q21−2q19 + q17−q15 + q13 + q9 + q7 + 2q3 + 2q−1−q−3 + q−5−q−7
1,0,1	q68−4q66 + 6q64−2q62−7q60 + 19q58−24q56 + 9q54 + 19q52−46q50 + 54q48−25q46−26q44 + 76q42−97q40 + 71q38−10q36−66q34 + 109q32−114q30 + 64q28−2q26−41q24 + 53q22−21q20 + 3q18 + 3q16 + 30q14−75q12 + 94q10−80q8 + 18q6 + 56q4−104q2 + 124−82q−2 + 36q−4 + 28q−6−59q−8 + 60q−10−43q−12 + 10q−14 + 7q−16−14q−18 + 10q−20−4q−22 + q−24

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q52−q50−2q48 + 3q46 + q44−5q42 + 2q40 + 6q38−q36−4q34 + 3q32−9q28−5q26 + 3q24−4q22−5q20 + 10q18 + 4q16−2q14 + 7q12 + 9q10−2q8−q6 + 5q4 + 2q2−5−q−2 + 3q−4−2q−6−2q−8 + 2q−10−q−14 + q−16
1,0,0,0	−q28 + q26−2q24−q18 + q16 + 2q12 + 2q8 + 2q4 + 1 + q−2−q−4 + q−6−q−8

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q42 + 2q40−3q38 + 5q36−7q34 + 7q32−8q30 + 6q28−3q26 + 4q22−6q20 + 10q18−13q16 + 14q14−13q12 + 11q10−8q8 + 5q6−2q2 + 6−6q−2 + 8q−4−6q−6 + 6q−8−5q−10 + 2q−12−q−14
1,0	q68−2q64−2q62 + q60 + 5q58 + 2q56−5q54−5q52 + 2q50 + 8q48 + q46−8q44−4q42 + 5q40 + 5q38−4q36−6q34 + q32 + 6q30−6q26−q24 + 5q22 + 3q20−3q18−3q16 + 4q14 + 5q12−2q10−6q8 + 2q6 + 8q4 + 4q2−6−6q−2 + 4q−4 + 8q−6−q−8−6q−10−3q−12 + 4q−14 + 3q−16−2q−18−2q−20 + q−24

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q58−2q56 + q54−2q52 + 5q50−5q48 + 4q46−5q44 + 8q42−5q40 + 3q38−4q36 + q32−5q30 + 2q28−9q26 + 9q24−9q22 + 11q20−9q18 + 12q16−5q14 + 10q12−4q10 + 4q8 + q6 + 2q2−4 + 6q−2−6q−4 + 5q−6−6q−8 + 5q−10−4q−12 + 3q−14−2q−16 + q−18

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q100−2q98 + 3q96−4q94 + 2q92−q90−2q88 + 9q86−12q84 + 15q82−14q80 + 7q78 + 2q76−16q74 + 28q72−31q70 + 24q68−10q66−11q64 + 26q62−30q60 + 21q58−5q56−15q54 + 23q52−19q50 + 2q48 + 22q46−36q44 + 36q42−20q40−4q38 + 30q36−45q34 + 46q32−33q30 + 12q28 + 14q26−32q24 + 39q22−30q20 + 14q18 + 5q16−20q14 + 24q12−14q10−q8 + 21q6−29q4 + 26q2−6−17q−2 + 35q−4−37q−6 + 28q−8−10q−10−12q−12 + 24q−14−25q−16 + 20q−18−9q−20−2q−22 + 6q−24−8q−26 + 5q−28−2q−30 + q−32

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 16"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

t3−4t2 + 8t−9 + 8t−1−4t−2 + t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

z6 + 2z4 + z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 35, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

−q2 + 3q−4 + 6q−1−6q−2 + 6q−3−5q−4 + 3q−5−q−6

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

a2z6−a4z4 + 4a2z4−z4−2a4z2 + 5a2z2−2z2−a4 + 2a2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z3a7 + 3z4a6−z2a6 + 5z5a5−5z3a5 + 2za5 + 5z6a4−7z4a4 + 4z2a4−a4 + 2z7a3 + 3z5a3−10z3a3 + 4za3 + 8z6a2−18z4a2 + 10z2a2−2a2 + 2z7a−z5a−6z3a + 3za + 3z6−8z4 + 5z2 + z5a−1−2z3a−1 + za−1

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 16"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ t3−4t2 + 8t−9 + 8t−1−4t−2 + t−3, −q2 + 3q−4 + 6q−1−6q−2 + 6q−3−5q−4 + 3q−5−q−6 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_156, K11n15, K11n56, K11n58,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{10_156,}

n	Jn
2	q7−3q6−q5 + 10q4−8q3−10q2 + 24q−8−25q−1 + 35q−2−3q−3−37q−4 + 38q−5 + 4q−6−41q−7 + 32q−8 + 8q−9−32q−10 + 19q−11 + 7q−12−15q−13 + 6q−14 + 2q−15−3q−16 + q−17
3	−q15 + 3q14 + q13−5q12−8q11 + 8q10 + 20q9−8q8−33q7−3q6 + 51q5 + 18q4−61q3−43q2 + 70q + 65−64q−1−96q−2 + 63q−3 + 113q−4−46q−5−136q−6 + 37q−7 + 147q−8−19q−9−160q−10 + 8q−11 + 159q−12 + 8q−13−155q−14−20q−15 + 139q−16 + 31q−17−116q−18−35q−19 + 88q−20 + 33q−21−58q−22−28q−23 + 34q−24 + 19q−25−19q−26−8q−27 + 8q−28 + 3q−29−3q−30−2q−31 + 3q−32−q−33
4	q26−3q25−q24 + 5q23 + 3q22 + 8q21−18q20−18q19 + 5q18 + 17q17 + 59q16−22q15−63q14−47q13−7q12 + 157q11 + 49q10−62q9−146q8−142q7 + 210q6 + 175q5 + 61q4−190q3−350q2 + 140q + 250 + 269q−1−116q−2−526q−3−16q−4 + 224q−5 + 466q−6 + 32q−7−619q−8−182q−9 + 140q−10 + 609q−11 + 182q−12−650q−13−319q−14 + 48q−15 + 694q−16 + 306q−17−625q−18−420q−19−50q−20 + 706q−21 + 401q−22−522q−23−454q−24−160q−25 + 596q−26 + 437q−27−330q−28−378q−29−239q−30 + 376q−31 + 362q−32−130q−33−206q−34−217q−35 + 153q−36 + 202q−37−23q−38−55q−39−117q−40 + 37q−41 + 67q−42−7q−43 + 3q−44−35q−45 + 8q−46 + 14q−47−7q−48 + 4q−49−6q−50 + 3q−51 + 2q−52−3q−53 + q−54
5	−q40 + 3q39 + q38−5q37−3q36−3q35 + 2q34 + 16q33 + 21q32−7q31−29q30−42q29−27q28 + 32q27 + 94q26 + 87q25−10q24−124q23−178q22−93q21 + 117q20 + 292q19 + 245q18−29q17−338q16−449q15−186q14 + 317q13 + 632q12 + 463q11−135q10−730q9−804q8−159q7 + 702q6 + 1080q5 + 579q4−520q3−1299q2−996q + 200 + 1351q−1 + 1442q−2 + 207q−3−1336q−4−1756q−5−654q−6 + 1152q−7 + 2062q−8 + 1089q−9−975q−10−2224q−11−1479q−12 + 708q−13 + 2379q−14 + 1833q−15−513q−16−2443q−17−2123q−18 + 276q−19 + 2526q−20 + 2379q−21−103q−22−2546q−23−2596q−24−107q−25 + 2567q−26 + 2779q−27 + 297q−28−2494q−29−2921q−30−542q−31 + 2366q−32 + 2993q−33 + 786q−34−2109q−35−2962q−36−1048q−37 + 1752q−38 + 2809q−39 + 1252q−40−1311q−41−2501q−42−1369q−43 + 837q−44 + 2065q−45 + 1370q−46−411q−47−1566q−48−1216q−49 + 77q−50 + 1060q−51 + 975q−52 + 125q−53−640q−54−696q−55−182q−56 + 326q−57 + 428q−58 + 171q−59−134q−60−243q−61−112q−62 + 51q−63 + 109q−64 + 59q−65−12q−66−41q−67−33q−68 + 6q−69 + 22q−70 + 2q−71−3q−72 + q−73−5q−74−q−75 + 6q−76−3q−77−2q−78 + 3q−79−q−80
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