8 15

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 15"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3849 X5,12,6,13 X13,16,14,1 X9,14,10,15 X15,10,16,11 X11,6,12,7 X7283

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 8, -2, 1, -3, 7, -8, 2, -5, 6, -7, 3, -4, 5, -6, 4

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 8 12 2 14 6 16 10

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[21,21,2]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,2,−1,−3,−2,−2,−2,−3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 9, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{11, 3}, {2, 9}, {7, 10}, {9, 11}, {8, 4}, {3, 7}, {4, 1}, {5, 8}, {6, 2}, {10, 5}, {1, 6}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 8_15.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q21−2q19 + q17−2q15 + q11 + 3q7−q5 + q3
2	q58−2q56−2q54 + 6q52−2q50−6q48 + 9q46 + q44−9q42 + 6q40 + 3q38−6q36−q34 + 2q32−7q28 + 2q26 + 7q24−8q22 + 10q18−5q16−2q14 + 6q12−q8 + q6
3	q111−2q109−2q107 + 3q105 + 6q103−2q101−13q99 + 2q97 + 18q95 + 4q93−25q91−13q89 + 27q87 + 22q85−27q83−29q81 + 20q79 + 35q77−12q75−32q73 + 7q71 + 27q69 + 4q67−21q65−9q63 + 10q61 + 17q59−5q57−21q55−7q53 + 27q51 + 13q49−30q47−23q45 + 27q43 + 27q41−22q39−32q37 + 12q35 + 32q33−6q31−23q29−2q27 + 19q25 + 7q23−8q21−4q19 + 4q17 + 3q15−q11 + q9
4	q180−2q178−2q176 + 3q174 + 3q172 + 6q170−9q168−13q166 + 2q164 + 11q162 + 30q160−11q158−41q156−22q154 + 14q152 + 80q150 + 22q148−62q146−83q144−27q142 + 123q140 + 97q138−31q136−135q134−108q132 + 102q130 + 151q128 + 41q126−124q124−159q122 + 38q120 + 138q118 + 88q116−63q114−137q112−19q110 + 80q108 + 92q106−2q104−81q102−57q100 + 17q98 + 75q96 + 49q94−23q92−93q90−46q88 + 62q86 + 102q84 + 34q82−121q80−107q78 + 32q76 + 141q74 + 101q72−112q70−148q68−28q66 + 124q64 + 148q62−49q60−133q58−86q56 + 53q54 + 136q52 + 19q50−62q48−83q46−12q44 + 70q42 + 38q40−38q36−24q34 + 16q32 + 14q30 + 11q28−5q26−7q24 + 2q22 + q20 + 3q18−q14 + q12
5	q265−2q263−2q261 + 3q259 + 3q257 + 3q255−q253−9q251−13q249 + 2q247 + 20q245 + 23q243 + 6q241−27q239−49q237−33q235 + 37q233 + 92q231 + 71q229−21q227−131q225−155q223−29q221 + 172q219 + 255q217 + 121q215−157q213−369q211−275q209 + 93q207 + 447q205 + 449q203 + 42q201−464q199−612q197−218q195 + 403q193 + 725q191 + 409q189−288q187−747q185−557q183 + 129q181 + 696q179 + 645q177 + 23q175−589q173−647q171−147q169 + 441q167 + 591q165 + 229q163−299q161−511q159−260q157 + 162q155 + 395q153 + 289q151−49q149−310q147−287q145−48q143 + 215q141 + 319q139 + 152q137−156q135−340q133−254q131 + 77q129 + 394q127 + 373q125−7q123−426q121−499q119−98q117 + 448q115 + 620q113 + 214q111−413q109−712q107−360q105 + 339q103 + 747q101 + 494q99−202q97−709q95−595q93 + 27q91 + 607q89 + 634q87 + 132q85−435q83−592q81−272q79 + 239q77 + 496q75 + 313q73−70q71−337q69−309q67−55q65 + 194q63 + 240q61 + 101q59−72q57−154q55−101q53 + 6q51 + 77q49 + 74q47 + 18q45−27q43−36q41−14q39 + 4q37 + 17q35 + 12q33−q31−4q29−q27−q25 + q23 + 3q21−q17 + q15

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q32 + q30−2q28−q26−2q24−2q22 + q20 + 3q16 + q14 + q12 + 2q10−q8 + q6
1,1	q84−4q82 + 10q80−20q78 + 34q76−54q74 + 74q72−92q70 + 105q68−104q66 + 90q64−60q62 + 18q60 + 36q58−90q56 + 142q54−176q52 + 200q50−202q48 + 182q46−153q44 + 96q42−52q40−10q38 + 48q36−86q34 + 104q32−104q30 + 99q28−72q26 + 62q24−34q22 + 25q20−10q18 + 6q16−2q14 + q12
2,0	q80 + q78−q76−4q74−3q72 + 2q70 + q68 + 3q64 + 8q62 + 4q60−3q58 + 2q54−4q52−6q50−3q48−3q46−6q44−2q42 + q40−3q38 + 6q34 + 3q32−3q30 + 4q28 + 6q26 + q24−2q22 + 3q20 + 4q18−q16−q14 + q12

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q68−2q66 + 3q62−6q60 + q58 + 6q56−5q54 + 4q52 + 10q50−3q48−q46−q44−7q42−9q40−7q38 + q36−q34−2q32 + 10q30 + 5q28−4q26 + 9q24 + 2q22−3q20 + 4q18 + q16−q14 + q12
1,0,0	q43 + q41 + q39−2q37−q35−4q33−2q31−2q29 + q27 + q25 + 2q23 + 3q21 + q19 + 2q17 + 2q13−q11 + q9

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q90 + q88−q86−3q84−q82−5q78−4q76 + 6q74 + 8q72 + 3q70 + 9q68 + 14q66 + 5q64−5q62−4q60−9q58−20q56−17q54−7q52−10q50−6q48 + 9q46 + 9q44 + 2q42 + 7q40 + 12q38 + 4q36−q34 + 4q32 + 6q30−q28 + 3q24 + q22−q20 + q18
1,0,0,0	q54 + q52 + q50 + q48−2q46−q44−4q42−4q40−2q38−2q36 + q34 + q32 + 3q30 + 2q28 + 3q26 + q24 + 2q22 + q20 + 2q16−q14 + q12

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q68−2q66 + 4q64−5q62 + 6q60−7q58 + 6q56−5q54 + 2q52−5q48 + 7q46−11q44 + 11q42−13q40 + 11q38−9q36 + 7q34−2q32 + 5q28−4q26 + 7q24−6q22 + 7q20−4q18 + 3q16−q14 + q12
1,0	q110−2q106−2q104 + 2q102 + 4q100−q98−6q96−3q94 + 6q92 + 6q90−2q88−6q86 + q84 + 8q82 + 5q80−4q78−3q76 + 3q74 + 3q72−5q70−7q68−2q66 + 2q64−3q62−7q60−3q58 + 3q56 + 3q54−4q52−3q50 + 5q48 + 9q46−5q42−q40 + 8q38 + 6q36−2q34−5q32 + q30 + 4q28 + 2q26−q24−q22 + q18

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q94−2q92 + 2q90−3q88 + 4q86−6q84 + 4q82−5q80 + 6q78−3q76 + 4q74 + 2q72 + 5q70 + 6q68−4q66 + 5q64−10q62 + 4q60−17q58−16q54 + 4q52−8q50 + 5q48−2q46 + 6q44 + 7q42 + 2q40 + 6q38−2q36 + 8q34−3q32 + 6q30−4q28 + 5q26−q24 + 2q22−q20 + q18

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q162−2q160 + 4q158−6q156 + 3q154−q152−6q150 + 14q148−18q146 + 20q144−12q142−q140 + 17q138−27q136 + 34q134−24q132 + 7q130 + 10q128−21q126 + 25q124−16q122 + q120 + 14q118−20q116 + 12q114−24q110 + 34q108−36q106 + 18q104−2q102−24q100 + 40q98−47q96 + 34q94−18q92−7q90 + 25q88−33q86 + 26q84−9q82−2q80 + 16q78−17q76 + 9q74 + 10q72−21q70 + 29q68−21q66 + 6q64 + 17q62−27q60 + 33q58−23q56 + 12q54 + 2q52−14q50 + 17q48−14q46 + 10q44−2q42−q40 + 3q38−3q36 + 3q34−q32 + q30

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 15"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

3t2−8t + 11−8t−1 + 3t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

3z4 + 4z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 33, -4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q−2−2q−3 + 5q−4−5q−5 + 6q−6−6q−7 + 4q−8−3q−9 + q−10

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

a10−3z2a8−4a8 + 2z4a6 + 5z2a6 + 3a6 + z4a4 + 2z2a4 + a4

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z4a12−z2a12 + 3z5a11−5z3a11 + 2za11 + 3z6a10−3z4a10−a10 + z7a9 + 6z5a9−14z3a9 + 8za9 + 6z6a8−10z4a8 + 8z2a8−4a8 + z7a7 + 5z5a7−11z3a7 + 6za7 + 3z6a6−5z4a6 + 5z2a6−3a6 + 2z5a5−2z3a5 + z4a4−2z2a4 + a4

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 15"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ 3t2−8t + 11−8t−1 + 3t−2, q−2−2q−3 + 5q−4−5q−5 + 6q−6−6q−7 + 4q−8−3q−9 + q−10 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{K11n65,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q−4−2q−5 + q−6 + 7q−7−10q−8−2q−9 + 22q−10−20q−11−10q−12 + 37q−13−25q−14−19q−15 + 44q−16−23q−17−22q−18 + 39q−19−14q−20−19q−21 + 24q−22−4q−23−11q−24 + 9q−25−3q−27 + q−28
3	q−6−2q−7 + q−8 + 3q−9 + 2q−10−10q−11−3q−12 + 18q−13 + 14q−14−31q−15−24q−16 + 35q−17 + 52q−18−51q−19−68q−20 + 45q−21 + 101q−22−51q−23−118q−24 + 38q−25 + 144q−26−37q−27−152q−28 + 24q−29 + 160q−30−15q−31−159q−32 + 5q−33 + 148q−34 + 10q−35−136q−36−15q−37 + 109q−38 + 30q−39−89q−40−30q−41 + 60q−42 + 32q−43−40q−44−25q−45 + 20q−46 + 20q−47−11q−48−11q−49 + 4q−50 + 5q−51−3q−53 + q−54
4	q−8−2q−9 + q−10 + 3q−11−2q−12 + 2q−13−11q−14 + 3q−15 + 19q−16 + q−17 + 4q−18−51q−19−11q−20 + 57q−21 + 39q−22 + 36q−23−133q−24−82q−25 + 78q−26 + 120q−27 + 153q−28−216q−29−221q−30 + 31q−31 + 204q−32 + 350q−33−240q−34−373q−35−89q−36 + 240q−37 + 563q−38−200q−39−482q−40−228q−41 + 226q−42 + 718q−43−132q−44−522q−45−336q−46 + 179q−47 + 788q−48−60q−49−496q−50−394q−51 + 105q−52 + 764q−53 + 19q−54−402q−55−406q−56 + 6q−57 + 646q−58 + 93q−59−251q−60−356q−61−94q−62 + 449q−63 + 128q−64−86q−65−246q−66−143q−67 + 239q−68 + 101q−69 + 18q−70−118q−71−117q−72 + 89q−73 + 45q−74 + 39q−75−34q−76−59q−77 + 23q−78 + 9q−79 + 20q−80−4q−81−18q−82 + 4q−83 + 5q−85−3q−87 + q−88
5	q−10−2q−11 + q−12 + 3q−13−2q−14−2q−15 + q−16−5q−17 + 4q−18 + 16q−19 + 3q−20−15q−21−17q−22−27q−23 + 13q−24 + 61q−25 + 59q−26−12q−27−88q−28−134q−29−40q−30 + 143q−31 + 232q−32 + 127q−33−134q−34−383q−35−294q−36 + 115q−37 + 499q−38 + 510q−39 + 49q−40−640q−41−805q−42−205q−43 + 656q−44 + 1077q−45 + 551q−46−667q−47−1385q−48−827q−49 + 542q−50 + 1584q−51 + 1247q−52−414q−53−1793q−54−1526q−55 + 190q−56 + 1883q−57 + 1874q−58−8q−59−1965q−60−2072q−61−211q−62 + 1956q−63 + 2293q−64 + 372q−65−1944q−66−2389q−67−542q−68 + 1870q−69 + 2477q−70 + 680q−71−1777q−72−2493q−73−805q−74 + 1631q−75 + 2454q−76 + 941q−77−1439q−78−2387q−79−1038q−80 + 1209q−81 + 2203q−82 + 1153q−83−911q−84−2025q−85−1188q−86 + 621q−87 + 1703q−88 + 1211q−89−299q−90−1403q−91−1137q−92 + 54q−93 + 1017q−94 + 1021q−95 + 160q−96−706q−97−821q−98−268q−99 + 396q−100 + 627q−101 + 308q−102−200q−103−414q−104−270q−105 + 42q−106 + 259q−107 + 214q−108 + 12q−109−136q−110−136q−111−41q−112 + 58q−113 + 88q−114 + 36q−115−26q−116−44q−117−20q−118 + 3q−119 + 18q−120 + 20q−121−4q−122−11q−123−3q−124 + 5q−127−3q−129 + q−130
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7	q−14−2q−15 + q−16 + 3q−17−2q−18−2q−19−3q−20 + 3q−21 + 8q−22−7q−23 + 3q−24 + 9q−25−5q−26−12q−27−22q−28 + 35q−30 + 4q−31 + 29q−32 + 35q−33−13q−34−53q−35−126q−36−76q−37 + 47q−38 + 77q−39 + 199q−40 + 233q−41 + 88q−42−100q−43−440q−44−525q−45−273q−46−5q−47 + 593q−48 + 972q−49 + 869q−50 + 389q−51−720q−52−1582q−53−1698q−54−1248q−55 + 377q−56 + 2113q−57 + 2971q−58 + 2752q−59 + 538q−60−2251q−61−4283q−62−4961q−63−2506q−64 + 1649q−65 + 5479q−66 + 7594q−67 + 5418q−68 + 195q−69−5775q−70−10470q−71−9460q−72−3321q−73 + 5123q−74 + 12813q−75 + 13835q−76 + 7927q−77−2683q−78−14330q−79−18648q−80−13455q−81−932q−82 + 14463q−83 + 22554q−84 + 19601q−85 + 6291q−86−13197q−87−25969q−88−25701q−89−12026q−90 + 10580q−91 + 27728q−92 + 31256q−93 + 18529q−94−6954q−95−28747q−96−35892q−97−24396q−98 + 2813q−99 + 28289q−100 + 39474q−101 + 30019q−102 + 1428q−103−27450q−104−41993q−105−34422q−106−5428q−107 + 25855q−108 + 43610q−109 + 38187q−110 + 8921q−111−24374q−112−44475q−113−40815q−114−11853q−115 + 22629q−116 + 44836q−117 + 42923q−118 + 14253q−119−21172q−120−44808q−121−44255q−122−16241q−123 + 19570q−124 + 44457q−125 + 45310q−126 + 18010q−127−18022q−128−43820q−129−45938q−130−19653q−131 + 16181q−132 + 42728q−133 + 46276q−134 + 21395q−135−13920q−136−41152q−137−46293q−138−23147q−139 + 11205q−140 + 38759q−141 + 45645q−142 + 25027q−143−7705q−144−35542q−145−44468q−146−26695q−147 + 3879q−148 + 31235q−149 + 42093q−150 + 28009q−151 + 598q−152−26035q−153−38856q−154−28555q−155−4784q−156 + 20059q−157 + 34166q−158 + 28072q−159 + 8765q−160−13734q−161−28722q−162−26344q−163−11572q−164 + 7629q−165 + 22422q−166 + 23332q−167 + 13290q−168−2311q−169−16171q−170−19357q−171−13373q−172−1746q−173 + 10239q−174 + 14864q−175 + 12281q−176 + 4278q−177−5489q−178−10336q−179−10095q−180−5371q−181 + 1885q−182 + 6422q−183 + 7634q−184 + 5202q−185 + 204q−186−3350q−187−5056q−188−4347q−189−1288q−190 + 1312q−191 + 3053q−192 + 3187q−193 + 1417q−194−167q−195−1526q−196−2043q−197−1225q−198−356q−199 + 639q−200 + 1216q−201 + 838q−202 + 408q−203−166q−204−603q−205−476q−206−375q−207−46q−208 + 307q−209 + 268q−210 + 227q−211 + 52q−212−117q−213−89q−214−137q−215−85q−216 + 50q−217 + 59q−218 + 72q−219 + 26q−220−28q−221 + 3q−222−27q−223−31q−224 + 3q−225 + 9q−226 + 20q−227 + 5q−228−11q−229 + 4q−230−7q−232 + 5q−235−3q−237 + q−238