8 13

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 13"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3,10,4,11 X11,1,12,16 X5,13,6,12 X15,7,16,6 X7,15,8,14 X13,9,14,8 X9,2,10,3

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 8, -2, 1, -4, 5, -6, 7, -8, 2, -3, 4, -7, 6, -5, 3

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 10 12 14 2 16 8 6

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[31112]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,2,−1,2,2,3,−2,3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 9, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{10, 5}, {1, 8}, {6, 9}, {8, 10}, {9, 4}, {5, 2}, {3, 1}, {4, 7}, {2, 6}, {7, 3}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 8_13.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q7 + 2q5−q3 + q + 2q−5−q−7 + q−9−q−11
2	q20−2q18−q16 + 5q14−4q12−3q10 + 7q8−3q6−3q4 + 6q2 + 1−2q−2 + 3q−6−q−8−5q−10 + 4q−12 + 3q−14−6q−16 + 3q−18 + 4q−20−5q−22 + 3q−26−2q−28−q−30 + q−32
3	−q39 + 2q37 + q35−3q33−2q31 + 4q29 + 6q27−9q25−8q23 + 10q21 + 11q19−12q17−15q15 + 12q13 + 19q11−8q9−18q7 + 5q5 + 16q3 + q−11q−1−6q−3 + 7q−5 + 10q−7−q−9−12q−11−3q−13 + 14q−15 + 8q−17−15q−19−11q−21 + 13q−23 + 13q−25−10q−27−17q−29 + 8q−31 + 17q−33−2q−35−17q−37−q−39 + 14q−41 + 5q−43−10q−45−7q−47 + 5q−49 + 6q−51−2q−53−4q−55 + 2q−59 + q−61−q−63
4	q64−2q62−q60 + 3q58 + 2q54−7q52−q50 + 10q48 + q46 + 3q44−21q42−6q40 + 26q38 + 13q36−47q32−19q30 + 43q28 + 40q26 + 11q24−67q22−47q20 + 36q18 + 60q16 + 35q14−55q12−60q10 + 6q8 + 46q6 + 49q4−18q2−43−22q−2 + 11q−4 + 39q−6 + 19q−8−13q−10−39q−12−19q−14 + 24q−16 + 43q−18 + 9q−20−44q−22−35q−24 + 9q−26 + 59q−28 + 26q−30−46q−32−47q−34−7q−36 + 64q−38 + 41q−40−34q−42−52q−44−32q−46 + 51q−48 + 56q−50−4q−52−42q−54−54q−56 + 18q−58 + 50q−60 + 26q−62−12q−64−51q−66−12q−68 + 21q−70 + 29q−72 + 14q−74−25q−76−18q−78−4q−80 + 12q−82 + 16q−84−4q−86−6q−88−6q−90 + 6q−94 + q−96−2q−100−q−102 + q−104
5	−q95 + 2q93 + q91−3q89 + q83 + 2q81−6q77−4q75 + 7q73 + 12q71 + 4q69−13q67−20q65−14q63 + 20q61 + 52q59 + 24q57−36q55−78q53−56q51 + 38q49 + 124q47 + 100q45−36q43−161q41−154q39 + 5q37 + 184q35 + 211q33 + 41q31−183q29−251q27−94q25 + 149q23 + 266q21 + 146q19−95q17−245q15−175q13 + 34q11 + 195q9 + 183q7 + 27q5−131q3−166q−71q−1 + 63q−3 + 132q−5 + 100q−7 + q−9−98q−11−115q−13−48q−15 + 65q−17 + 128q−19 + 82q−21−39q−23−136q−25−111q−27 + 27q−29 + 148q−31 + 130q−33−18q−35−157q−37−154q−39 + 6q−41 + 171q−43 + 177q−45 + 11q−47−176q−49−200q−51−41q−53 + 166q−55 + 225q−57 + 77q−59−142q−61−231q−63−119q−65 + 90q−67 + 226q−69 + 164q−71−37q−73−191q−75−185q−77−36q−79 + 139q−81 + 190q−83 + 86q−85−73q−87−162q−89−121q−91 + 8q−93 + 117q−95 + 127q−97 + 42q−99−62q−101−107q−103−66q−105 + 13q−107 + 70q−109 + 69q−111 + 18q−113−35q−115−53q−117−29q−119 + 7q−121 + 30q−123 + 28q−125 + 6q−127−14q−129−17q−131−7q−133 + 2q−135 + 8q−137 + 8q−139−4q−143−3q−145−q−147 + 2q−151 + q−153−q−155

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q10 + q8 + q6−q4 + q2−1 + q−2 + q−4 + q−6 + 2q−8−q−10−q−16
1,1	q28−4q26 + 8q24−12q22 + 20q20−32q18 + 38q16−44q14 + 51q12−52q10 + 44q8−30q6 + 13q4 + 12q2−36 + 66q−2−82q−4 + 100q−6−102q−8 + 98q−10−86q−12 + 66q−14−42q−16 + 12q−18 + 10q−20−28q−22 + 46q−24−54q−26 + 55q−28−48q−30 + 40q−32−32q−34 + 19q−36−12q−38 + 6q−40−2q−42 + q−44
2,0	q26−q24−2q22 + q20 + 3q18−5q14 + 3q10−2q8−2q6 + 4q4 + 4q2 + 1 + q−2 + 2q−4−q−6−2q−8 + q−10−q−12−3q−14 + 3q−16 + 4q−18−q−20−2q−22 + 2q−24 + 2q−26−2q−28−3q−30 + q−32 + q−34−q−36−q−38 + q−42

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q22−2q20−q18 + 4q16−3q14−q12 + 6q10−3q8−3q6 + 4q4−2q2−2 + 2q−2 + 2q−4 + q−6 + 5q−10 + 4q−12−4q−14 + 3q−16 + 2q−18−6q−20 + q−24−4q−26 + q−28 + q−30−q−32 + q−34
1,0,0	−q13 + q11 + q7−q5 + q3−q + q−3 + q−5 + 2q−7 + q−9 + 2q−11−q−13−q−17−q−21

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q28−q26−2q24 + q22 + 2q20−q18−2q16 + 3q14 + 3q12−3q10−3q8 + 4q6−4q2 + 1 + 2q−2−2q−4−q−6 + 4q−8 + 3q−10 + q−12 + 7q−14 + 8q−16−q−20 + 4q−22−2q−24−7q−26−4q−28−2q−32−3q−34 + q−36 + 2q−38 + q−44
1,0,0,0	−q16 + q14 + q8−q6 + q4−q2 + q−4 + q−6 + 2q−8 + 2q−10 + q−12 + 2q−14−q−16−q−20−q−22−q−26

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q22 + 2q20−3q18 + 4q16−5q14 + 5q12−4q10 + 3q8−q6 + 4q2−6 + 8q−2−8q−4 + 9q−6−8q−8 + 7q−10−4q−12 + 2q−14 + q−16−2q−18 + 4q−20−4q−22 + 5q−24−4q−26 + 3q−28−3q−30 + q−32−q−34
1,0	q36−2q32−2q30 + q28 + 4q26 + q24−4q22−3q20 + 3q18 + 5q16−5q12−2q10 + 3q8 + 3q6−3q4−3q2 + 2 + 4q−2−3q−6 + 4q−10 + 2q−12−2q−14−q−16 + 4q−18 + 3q−20−2q−22−4q−24 + 2q−26 + 5q−28 + q−30−5q−32−4q−34 + 2q−36 + 4q−38−q−40−4q−42−2q−44 + 2q−46 + 2q−48−q−50−q−52 + q−56

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q30−2q28 + q26−2q24 + 4q22−4q20 + 3q18−3q16 + 5q14−2q12 + q10−2q8 + 2q4−4q2 + 3−6q−2 + 7q−4−5q−6 + 8q−8−5q−10 + 9q−12−q−14 + 7q−16−q−18 + 2q−20 + q−22−2q−24−5q−28 + 2q−30−5q−32 + 2q−34−4q−36 + 3q−38−2q−40 + 2q−42−q−44 + q−46

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q52−2q50 + 3q48−4q46 + q44−3q40 + 9q38−11q36 + 12q34−8q32 + 6q28−13q26 + 18q24−16q22 + 10q20−8q16 + 14q14−10q12 + 4q10 + 2q8−10q6 + 9q4−3q2−7 + 17q−2−22q−4 + 19q−6−6q−8−9q−10 + 19q−12−26q−14 + 26q−16−14q−18 + 3q−20 + 11q−22−16q−24 + 21q−26−10q−28 + q−30 + 6q−32−9q−34 + 8q−36−6q−40 + 14q−42−15q−44 + 9q−46 + q−48−13q−50 + 18q−52−19q−54 + 11q−56−4q−58−6q−60 + 11q−62−13q−64 + 10q−66−4q−68−q−70 + 2q−72−4q−74 + 3q−76−q−78 + q−80

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 13"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

2t2−7t + 11−7t−1 + 2t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

2z4 + z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 29, 0 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

−q5 + 2q4−3q3 + 5q2−5q + 5−4q−1 + 3q−2−q−3

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z4a−2 + z4−a2z2 + 2z2a−2−z2a−4 + z2 + 2a−2−a−4

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z7a−1 + z7a−3 + 5z6a−2 + 2z6a−4 + 3z6 + 4az5 + 4z5a−1 + z5a−3 + z5a−5 + 3a2z4−11z4a−2−6z4a−4−2z4 + a3z3−4az3−9z3a−1−7z3a−3−3z3a−5−2a2z2 + 7z2a−2 + 5z2a−4 + az + 3za−1 + 4za−3 + 2za−5−2a−2−a−4

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 13"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ 2t2−7t + 11−7t−1 + 2t−2, −q5 + 2q4−3q3 + 5q2−5q + 5−4q−1 + 3q−2−q−3 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q15−2q14−q13 + 6q12−5q11−6q10 + 15q9−6q8−15q7 + 24q6−5q5−24q4 + 28q3−q2−27q + 26 + 2q−1−22q−2 + 17q−3 + 2q−4−12q−5 + 7q−6 + q−7−3q−8 + q−9
3	−q30 + 2q29 + q28−2q27−5q26 + 4q25 + 9q24−3q23−17q22 + q21 + 24q20 + 6q19−32q18−15q17 + 39q16 + 25q15−41q14−40q13 + 46q12 + 48q11−41q10−64q9 + 42q8 + 71q7−35q6−81q5 + 33q4 + 82q3−24q2−84q + 20 + 77q−1−12q−2−69q−3 + 9q−4 + 54q−5−2q−6−42q−7 + 2q−8 + 27q−9 + q−10−19q−11 + q−12 + 9q−13−4q−15−q−16 + 3q−17−q−18
4	q50−2q49−q48 + 2q47 + q46 + 6q45−8q44−7q43 + 2q42 + 3q41 + 26q40−12q39−23q38−12q37−4q36 + 65q35 + 3q34−31q33−45q32−43q31 + 104q30 + 41q29−7q28−77q27−115q26 + 116q25 + 79q24 + 53q23−82q22−198q21 + 96q20 + 97q19 + 128q18−59q17−269q16 + 56q15 + 98q14 + 200q13−26q12−319q11 + 12q10 + 89q9 + 253q8 + 8q7−338q6−31q5 + 69q4 + 279q3 + 40q2−318q−59 + 36q−1 + 258q−2 + 65q−3−251q−4−62q−5−4q−6 + 192q−7 + 70q−8−161q−9−37q−10−28q−11 + 109q−12 + 50q−13−83q−14−8q−15−25q−16 + 47q−17 + 22q−18−36q−19 + 5q−20−12q−21 + 15q−22 + 7q−23−12q−24 + 3q−25−3q−26 + 4q−27 + q−28−3q−29 + q−30
5	−q75 + 2q74 + q73−2q72−q71−2q70−2q69 + 6q68 + 9q67−2q66−7q65−11q64−12q63 + 9q62 + 29q61 + 20q60−5q59−34q58−48q57−15q56 + 47q55 + 73q54 + 46q53−33q52−105q51−94q50 + 6q49 + 118q48 + 150q47 + 52q46−115q45−203q44−123q43 + 77q42 + 239q41 + 211q40−11q39−254q38−298q37−72q36 + 233q35 + 365q34 + 190q33−192q32−434q31−281q30 + 121q29 + 454q28 + 409q27−44q26−493q25−488q24−38q23 + 478q22 + 596q21 + 122q20−499q19−653q18−198q17 + 475q16 + 735q15 + 270q14−481q13−774q12−336q11 + 450q10 + 832q9 + 391q8−435q7−837q6−449q5 + 383q4 + 849q3 + 490q2−336q−805−518q−1 + 249q−2 + 754q−3 + 525q−4−178q−5−649q−6−506q−7 + 88q−8 + 545q−9 + 455q−10−28q−11−408q−12−386q−13−29q−14 + 302q−15 + 298q−16 + 40q−17−184q−18−216q−19−56q−20 + 123q−21 + 139q−22 + 33q−23−59q−24−80q−25−32q−26 + 37q−27 + 45q−28 + 11q−29−17q−30−20q−31−4q−32 + 5q−33 + 11q−34 + 5q−35−10q−36−3q−37 + 4q−38 + 3q−41−4q−42−q−43 + 3q−44−q−45
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