10 8

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 8"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1627 X7,16,8,17 X5,13,6,12 X3,15,4,14 X13,5,14,4 X15,3,16,2 X9,18,10,19 X11,20,12,1 X17,8,18,9 X19,10,20,11

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 6, -4, 5, -3, 1, -2, 9, -7, 10, -8, 3, -5, 4, -6, 2, -9, 7, -10, 8

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

6 14 12 16 18 20 4 2 8 10

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[514]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,−1,−1,−1,2,−1,2,3,−2,3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 11, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{12, 2}, {1, 8}, {9, 3}, {2, 4}, {8, 10}, {11, 9}, {10, 12}, {3, 5}, {4, 6}, {5, 7}, {6, 11}, {7, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_8.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q17−q15 + q13−q11 + q3−q + q−1 + q−5
2	q46−q44 + q40−2q38 + q36 + q34−q32−q26 + q22−q20 + 2q16 + q14−q12 + q8−q6−q4 + 2q2−q−2 + 2q−4−2q−8 + q−10 + q−12−q−14 + q−18
3	q87−q85 + q73−q71−q69−q67 + q65 + q63−2q59 + 4q55 + 2q53−3q51−2q49 + q47 + 2q45 + q43−q41−2q39−q37 + 3q35 + q33−3q31−3q29 + q27 + q25−q23−q21 + q19 + q17 + q15 + q11 + 2q9 + q7−q5−q3 + q + 2q−1−3q−5−2q−7 + 2q−9 + 3q−11−3q−15−q−17 + 3q−19 + 2q−21−q−23−3q−25 + 2q−29 + q−31−q−33−q−35 + q−39
4	q140−q138−q132 + 2q130−q128 + q126−q124−2q122 + q120−2q118 + 3q116 + 2q114−2q112−2q110−2q108 + 6q106 + 5q104−2q102−6q100−7q98 + 6q96 + 9q94 + 2q92−6q90−11q88 + q86 + 8q84 + 6q82−q80−10q78−5q76 + 2q74 + 6q72 + 8q70−q68−7q66−7q64 + 9q60 + 7q58−q56−8q54−6q52 + 4q50 + 8q48 + 2q46−4q44−4q42 + 2q40 + 3q38−2q36−4q34−2q32 + 3q30 + 5q28−2q26−5q24−3q22 + 2q20 + 7q18 + 2q16−q14−4q12−5q10 + 3q8 + 4q6 + 5q4 + q2−7−3q−2 + 6q−6 + 7q−8−2q−10−4q−12−6q−14 + 7q−18 + 4q−20 + q−22−6q−24−6q−26 + 3q−30 + 7q−32 + q−34−4q−36−4q−38−3q−40 + 4q−42 + 4q−44 + 2q−46−q−48−5q−50−q−52 + q−54 + 2q−56 + 2q−58−q−60−q−62−q−64 + q−68
5	q205−q203−q197 + q195 + q193−q189−q187−2q185 + 2q181 + 3q179 + q177−2q175−4q173−2q171 + 5q169 + 8q167 + 2q165−8q163−11q161−3q159 + 10q157 + 16q155 + 3q153−15q151−16q149−4q147 + 13q145 + 19q143 + 5q141−15q139−20q137−5q135 + 14q133 + 21q131 + 8q129−12q127−24q125−12q123 + 11q121 + 22q119 + 15q117−3q115−16q113−18q111−6q109 + 10q107 + 16q105 + 13q103 + 3q101−11q99−19q97−15q95 + 4q93 + 17q91 + 20q89 + 8q87−11q85−20q83−11q81 + 5q79 + 14q77 + 10q75−8q71−7q69 + q67 + 3q65−5q61−7q59 + q57 + 11q55 + 10q53−13q49−16q47−3q45 + 15q43 + 20q41 + 10q39−9q37−20q35−14q33 + 4q31 + 17q29 + 16q27 + 3q25−14q23−17q21−7q19 + 7q17 + 14q15 + 10q13 + q11−9q9−11q7−4q5 + 3q3 + 8q + 10q−1 + 5q−3−4q−5−9q−7−9q−9−4q−11 + 4q−13 + 12q−15 + 11q−17 + q−19−8q−21−13q−23−9q−25 + q−27 + 12q−29 + 14q−31 + 6q−33−4q−35−12q−37−12q−39−4q−41 + 7q−43 + 12q−45 + 9q−47 + 2q−49−7q−51−11q−53−8q−55 + 7q−59 + 9q−61 + 6q−63−q−65−6q−67−8q−69−4q−71 + 2q−73 + 5q−75 + 6q−77 + 3q−79−2q−81−5q−83−3q−85−q−87 + q−89 + 3q−91 + 2q−93−q−97−q−99−q−101 + q−105

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q24 + q14−q12−q8−q6 + 1 + q−2 + q−4 + q−6
1,1	q68−2q66 + 2q64−2q62 + 3q60−4q58 + 4q56−2q54 + 5q52−6q50 + 6q48−6q46 + 5q44−8q42 + 2q40−2q38 + 2q34−2q32 + 4q30−2q28 + 8q26−6q24 + 10q22−14q20 + 16q18−18q16 + 16q14−15q12 + 16q10−10q8 + 6q6−3q4−2q2 + 6−12q−2 + 13q−4−14q−6 + 14q−8−10q−10 + 8q−12−4q−14 + 4q−16 + q−20
2,0	q60 + q50−q46−q44−2q38−q36 + q34−2q30 + 2q26 + q24 + 2q22 + 2q20 + 2q18 + q16 + q14−2q10−q8−q4−2q2 + q−2−q−6 + q−10 + q−12 + q−16 + q−18 + q−20

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q56−q54−q52 + 2q50−2q46 + q44−2q40 + q38 + q36 + q32 + 2q30 + q28 + q24 + q22−q20−2q18−2q14−2q12−2q8 + q4 + 1 + 2q−2 + q−4 + q−6 + 2q−8 + q−12
1,0,0	q31 + q27−q25 + q23 + q19−q13−2q11−q9−2q7 + 2q + q−1 + 2q−3 + q−5 + q−7

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q70−q66 + q62−q58 + q54−2q50−q44 + q40 + 2q38 + 2q36 + 3q34 + 2q32 + q30 + q26−q24−3q22−q16−2q14−q12−2q10−3q8−3q6−2q4 + 1 + 3q−2 + 3q−4 + 4q−6 + 3q−8 + 2q−10 + q−12 + q−14
1,0,0,0	q38 + q34 + q28 + q24 + q20−q18−q16−2q14−2q12−2q10−2q8 + 2q2 + 2 + 2q−2 + 2q−4 + q−6 + q−8

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q56−q54 + q52−2q50 + 2q48−2q46 + 3q44−2q42 + 2q40−q38 + q36−q32 + 2q30−3q28 + 4q26−5q24 + 5q22−5q20 + 4q18−4q16 + 2q14−2q12−2q6 + 3q4−2q2 + 3−2q−2 + 3q−4−q−6 + 2q−8 + q−12
1,0	q90−q86−q84 + 2q80 + q78−q76−2q74−q72 + 2q70 + q68−q66−2q64 + 2q60 + q58−q56−q54 + q52 + 2q50 + q48−q46−q44 + q42 + 2q40−q36 + q32−q30−2q28 + 2q24−3q20−2q18 + q16 + 2q14−3q10−q8 + 2q6 + 2q4−2 + 2q−4 + 2q−6−q−8−q−10 + q−12 + 2q−14 + q−22

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q78−q76−q72 + 2q70−q68 + q66−2q64 + 2q62−2q60 + q58−2q56 + q54−q52 + q50 + q48 + q46 + 2q44 + 3q40−q38 + 4q36−3q34 + 4q32−4q30 + 4q28−4q26 + 2q24−5q22−3q18−q16−3q14−2q12−2q8 + 2q6−q4 + 4q2 + 4q−2 + 4q−6 + 2q−10 + q−14

G2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q134−q132 + q130−q128−q122 + 2q120−2q118 + 2q116−2q114 + q110−q108 + 3q106−3q104 + 2q102−q100−q98 + 2q96−3q94 + 3q92−2q90 + q88 + q86−q84 + 2q82 + q78 + q74 + 2q70 + q68 + q66 + q62−q60−3q54 + 3q52−5q50 + 3q48−q46−5q44 + 5q42−7q40 + 2q38−2q36−2q34 + 2q32−3q30 + 3q28−q26−2q20 + q18 + q16−q14 + 2q12−3q10 + 3q8 + q6−3q4 + 6q2−6 + 4q−2 + q−4−3q−6 + 6q−8−4q−10 + 4q−12 + 2q−18−2q−20 + 2q−22 + q−26

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 8"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−2t3 + 5t2−5t + 5−5t−1 + 5t−2−2t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−2z6−7z4−3z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 29, -4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q2−q + 2−3q−1 + 4q−2−4q−3 + 4q−4−4q−5 + 3q−6−2q−7 + q−8

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z4a6 + 3z2a6 + a6−z6a4−4z4a4−3z2a4−z6a2−5z4a2−7z2a2−3a2 + z4 + 4z2 + 3

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z2a10 + 2z3a9 + 3z4a8−2z2a8 + 4z5a7−7z3a7 + 2za7 + 4z6a6−10z4a6 + 5z2a6−a6 + 3z7a5−8z5a5 + 2z3a5 + za5 + 2z8a4−6z6a4 + z4a4 + 3z2a4 + z9a3−3z7a3−z5a3 + 5z3a3−za3 + 3z8a2−17z6a2 + 30z4a2−18z2a2 + 3a2 + z9a−6z7a + 11z5a−6z3a + z8−7z6 + 16z4−13z2 + 3

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 8"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −2t3 + 5t2−5t + 5−5t−1 + 5t−2−2t−3, q2−q + 2−3q−1 + 4q−2−4q−3 + 4q−4−4q−5 + 3q−6−2q−7 + q−8 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q8−q7−q6 + 3q5−q4−4q3 + 5q2 + q−7 + 6q−1 + 3q−2−10q−3 + 6q−4 + 5q−5−11q−6 + 5q−7 + 7q−8−10q−9 + 3q−10 + 6q−11−8q−12 + 2q−13 + 5q−14−7q−15 + 2q−16 + 4q−17−5q−18 + 2q−19 + q−20−2q−21 + q−22
3	q18−q17−q16 + 3q14−3q12−3q11 + 5q10 + 3q9−2q8−7q7 + 3q6 + 6q5 + q4−8q3−q2 + 5q + 4−6q−1−2q−2 + 3q−3 + 4q−4−4q−5−q−6 + 2q−7 + 3q−8−3q−9−q−10 + 2q−11 + q−12−3q−13 + q−14 + 2q−15−3q−16−3q−17 + 5q−18 + 4q−19−7q−20−4q−21 + 6q−22 + 6q−23−6q−24−5q−25 + 3q−26 + 5q−27−q−28−3q−29−q−30 + 3q−31 + q−32−2q−33−q−34 + q−35 + q−36−2q−37 + q−38 + q−40−2q−41 + q−42
4	q32−q31−q30 + 4q27−q26−2q25−2q24−4q23 + 8q22 + 2q21−2q19−11q18 + 7q17 + 2q16 + 5q15 + 4q14−15q13 + 4q12−4q11 + 5q10 + 11q9−12q8 + 7q7−11q6−q5 + 13q4−10q3 + 16q2−12q−7 + 10q−1−14q−2 + 24q−3−8q−4−8q−5 + 9q−6−22q−7 + 25q−8−5q−9−5q−10 + 14q−11−27q−12 + 20q−13−7q−14−2q−15 + 21q−16−29q−17 + 15q−18−9q−19 + 26q−21−30q−22 + 9q−23−9q−24 + 6q−25 + 32q−26−34q−27−q−28−11q−29 + 13q−30 + 40q−31−32q−32−10q−33−18q−34 + 13q−35 + 46q−36−23q−37−12q−38−22q−39 + 6q−40 + 41q−41−14q−42−5q−43−20q−44−q−45 + 29q−46−9q−47 + 3q−48−13q−49−4q−50 + 16q−51−8q−52 + 7q−53−6q−54−3q−55 + 8q−56−8q−57 + 7q−58−2q−59−2q−60 + 3q−61−5q−62 + 4q−63−q−64 + q−66−2q−67 + q−68
5	q50−q49−q48 + q45 + 3q44−3q42−2q41−2q40−q39 + 6q38 + 5q37−3q35−5q34−7q33 + 2q32 + 7q31 + 5q30 + 4q29−2q28−9q27−5q26−q25 + 2q24 + 8q23 + 7q22−2q21−2q20−6q19−9q18 + 7q16 + 6q15 + 8q14 + 2q13−11q12−11q11−3q10 + 2q9 + 13q8 + 11q7−q6−10q5−11q4−6q3 + 8q2 + 11q + 4−q−1−6q−2−8q−3 + 3q−4 + 4q−5−3q−6 + q−7 + 4q−8 + q−9 + 7q−10−3q−11−17q−12−9q−13 + 7q−14 + 18q−15 + 20q−16−2q−17−30q−18−27q−19 + q−20 + 29q−21 + 39q−22 + 8q−23−35q−24−45q−25−12q−26 + 32q−27 + 52q−28 + 18q−29−34q−30−55q−31−20q−32 + 34q−33 + 57q−34 + 21q−35−36q−36−63q−37−21q−38 + 42q−39 + 67q−40 + 25q−41−45q−42−79q−43−30q−44 + 51q−45 + 86q−46 + 37q−47−48q−48−92q−49−49q−50 + 47q−51 + 94q−52 + 51q−53−38q−54−89q−55−55q−56 + 31q−57 + 82q−58 + 53q−59−25q−60−71q−61−48q−62 + 20q−63 + 59q−64 + 41q−65−13q−66−51q−67−35q−68 + 13q−69 + 40q−70 + 26q−71−8q−72−31q−73−21q−74 + 7q−75 + 23q−76 + 14q−77−7q−78−13q−79−8q−80 + q−81 + 10q−82 + 6q−83−4q−84−3q−85−2q−86−2q−87 + 3q−88 + 4q−89−2q−90−3q−93 + q−94 + 2q−95−q−96 + q−98−2q−99 + q−100
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