10 42

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 42"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3,10,4,11 X11,1,12,20 X5,13,6,12 X15,18,16,19 X13,9,14,8 X17,7,18,6 X7,17,8,16 X19,14,20,15 X9,2,10,3

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 10, -2, 1, -4, 7, -8, 6, -10, 2, -3, 4, -6, 9, -5, 8, -7, 5, -9, 3

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 10 12 16 2 20 8 18 6 14

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[2211112]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(5,{−1,−1,2,−1,2,−3,2,4,−3,4})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 5, 10, 5 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{12, 7}, {1, 10}, {8, 11}, {10, 12}, {11, 6}, {7, 4}, {6, 9}, {5, 3}, {4, 8}, {2, 5}, {3, 1}, {9, 2}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_42.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q11 + 3q9−3q7 + 3q5−3q3 + q + 2q−1−2q−3 + 4q−5−3q−7 + 2q−9−q−11
2	q32−3q30−q28 + 11q26−8q24−12q22 + 24q20−6q18−27q16 + 29q14 + 5q12−31q10 + 19q8 + 14q6−19q4−3q2 + 15 + 5q−2−24q−4 + 7q−6 + 26q−8−29q−10−4q−12 + 32q−14−19q−16−10q−18 + 20q−20−7q−22−7q−24 + 7q−26−q−28−2q−30 + q−32
3	−q63 + 3q61 + q59−7q57−6q55 + 12q53 + 22q51−20q49−41q47 + 17q45 + 71q43−4q41−106q39−24q37 + 135q35 + 66q33−149q31−114q29 + 143q27 + 161q25−122q23−189q21 + 83q19 + 201q17−39q15−191q13−8q11 + 161q9 + 56q7−123q5−91q3 + 67q + 132q−1−9q−3−154q−5−51q−7 + 164q−9 + 108q−11−156q−13−155q−15 + 129q−17 + 184q−19−91q−21−188q−23 + 45q−25 + 175q−27−10q−29−139q−31−18q−33 + 103q−35 + 27q−37−66q−39−26q−41 + 38q−43 + 20q−45−20q−47−14q−49 + 10q−51 + 7q−53−4q−55−3q−57 + q−59 + 2q−61−q−63
4	q104−3q102−q100 + 7q98 + 2q96 + 2q94−22q92−14q90 + 29q88 + 29q86 + 35q84−75q82−97q80 + 32q78 + 112q76 + 182q74−108q72−297q70−122q68 + 173q66 + 532q64 + 78q62−512q60−556q58−30q56 + 924q54 + 611q52−412q50−1067q48−630q46 + 970q44 + 1230q42 + 129q40−1222q38−1298q36 + 525q34 + 1462q32 + 778q30−870q28−1560q26−101q24 + 1170q22 + 1118q20−274q18−1313q16−593q14 + 588q12 + 1098q10 + 294q8−781q6−899q4−63q2 + 876 + 805q−2−120q−4−1083q−6−735q−8 + 503q−10 + 1210q−12 + 614q−14−1022q−16−1298q−18−82q−20 + 1285q−22 + 1273q−24−582q−26−1464q−28−715q−30 + 869q−32 + 1508q−34 + 50q−36−1075q−38−1009q−40 + 213q−42 + 1175q−44 + 433q−46−435q−48−804q−50−209q−52 + 595q−54 + 396q−56−12q−58−399q−60−245q−62 + 192q−64 + 181q−66 + 85q−68−125q−70−125q−72 + 43q−74 + 45q−76 + 49q−78−28q−80−41q−82 + 12q−84 + 5q−86 + 15q−88−5q−90−10q−92 + 4q−94 + 3q−98−q−100−2q−102 + q−104
5	−q155 + 3q153 + q151−7q149−2q147 + 2q145 + 8q143 + 14q141 + 5q139−29q137−43q135−7q133 + 47q131 + 89q129 + 57q127−58q125−196q123−170q121 + 68q119 + 320q117 + 372q115 + 63q113−474q111−756q109−344q107 + 565q105 + 1229q103 + 948q101−391q99−1810q97−1903q95−170q93 + 2229q91 + 3151q89 + 1336q87−2225q85−4533q83−3102q81 + 1548q79 + 5677q77 + 5301q75−19q73−6209q71−7619q69−2245q67 + 5844q65 + 9550q63 + 4969q61−4528q59−10682q57−7654q55 + 2405q53 + 10794q51 + 9848q49 + 88q47−9869q45−11136q43−2576q41 + 8143q39 + 11462q37 + 4612q35−5987q33−10853q31−6023q29 + 3703q27 + 9594q25 + 6835q23−1598q21−8003q19−7094q17−287q15 + 6249q13 + 7153q11 + 1985q9−4606q7−7051q5−3577q3 + 2890q + 7018q−1 + 5234q−3−1168q−5−6918q−7−6933q−9−774q−11 + 6617q−13 + 8636q−15 + 2955q−17−5908q−19−10096q−21−5332q−23 + 4625q−25 + 10986q−27 + 7707q−29−2705q−31−11057q−33−9720q−35 + 310q−37 + 10131q−39 + 10999q−41 + 2233q−43−8250q−45−11262q−47−4511q−49 + 5741q−51 + 10462q−53 + 6029q−55−3016q−57−8707q−59−6674q−61 + 602q−63 + 6489q−65 + 6318q−67 + 1130q−69−4149q−71−5300q−73−2075q−75 + 2207q−77 + 3927q−79 + 2256q−81−802q−83−2572q−85−1957q−87 + 1474q−91 + 1447q−93 + 325q−95−728q−97−922q−99−364q−101 + 285q−103 + 524q−105 + 288q−107−92q−109−263q−111−173q−113 + 12q−115 + 113q−117 + 96q−119 + 9q−121−53q−123−43q−125−q−127 + 19q−129 + 13q−131 + 6q−133−8q−135−11q−137 + 4q−139 + 5q−141−q−143−3q−149 + q−151 + 2q−153−q−155

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q16 + q14 + 2q12−2q10 + 2q8−q6−2q4 + 2q2−2 + 3q−2−q−4 + q−6 + 3q−8−2q−10 + q−12−q−16
1,1	q44−6q42 + 20q40−50q38 + 103q36−188q34 + 312q32−474q30 + 659q28−840q26 + 1000q24−1096q22 + 1083q20−946q18 + 670q16−278q14−211q12 + 752q10−1268q8 + 1714q6−2021q4 + 2168q2−2124 + 1902q−2−1526q−4 + 1038q−6−516q−8 + 8q−10 + 430q−12−762q−14 + 968q−16−1034q−18 + 1006q−20−898q−22 + 746q−24−578q−26 + 419q−28−288q−30 + 182q−32−108q−34 + 58q−36−28q−38 + 12q−40−4q−42 + q−44
2,0	q42−q40−3q38 + 6q34 + 4q32−9q30−4q28 + 11q26 + 4q24−15q22−6q20 + 16q18 + 4q16−17q14 + q12 + 17q10−4q8−7q6 + 8q4 + 3q2−7 + 3q−2 + 6q−4−13q−6−6q−8 + 17q−10 + 3q−12−18q−14 + 4q−16 + 18q−18−2q−20−13q−22 + 2q−24 + 10q−26−3q−28−7q−30 + 2q−32 + 3q−34−q−36−2q−38 + q−42

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q34−3q32 + q30 + 6q28−11q26 + 5q24 + 13q22−22q20 + 6q18 + 20q16−25q14 + 3q12 + 23q10−17q8−5q6 + 12q4−2q2−9−4q−2 + 17q−4−5q−6−16q−8 + 27q−10 + q−12−23q−14 + 22q−16 + 2q−18−19q−20 + 11q−22 + 2q−24−9q−26 + 4q−28 + q−30−2q−32 + q−34
1,0,0	−q21 + q19 + 2q15−2q13 + 3q11−2q9 + q7−2q5 + q3−q−q−1 + 2q−3−q−5 + 3q−7 + 4q−11−2q−13 + q−15−q−17−q−21

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q34 + 3q32−7q30 + 12q28−17q26 + 23q24−27q22 + 30q20−28q18 + 24q16−15q14 + 3q12 + 11q10−27q8 + 39q6−50q4 + 56q2−57 + 52q−2−41q−4 + 29q−6−14q−8 + q−10 + 13q−12−21q−14 + 28q−16−28q−18 + 27q−20−23q−22 + 18q−24−13q−26 + 8q−28−5q−30 + 2q−32−q−34
1,0	q56−3q52−3q50 + 4q48 + 9q46−q44−14q42−8q40 + 16q38 + 20q36−8q34−29q32−8q30 + 27q28 + 23q26−16q24−30q22 + 2q20 + 29q18 + 11q16−21q14−15q12 + 14q10 + 17q8−10q6−19q4 + 5q2 + 19−2q−2−21q−4−2q−6 + 22q−8 + 10q−10−21q−12−17q−14 + 18q−16 + 29q−18−5q−20−31q−22−10q−24 + 26q−26 + 22q−28−11q−30−25q−32−4q−34 + 17q−36 + 11q−38−7q−40−11q−42−q−44 + 6q−46 + 3q−48−2q−50−2q−52 + q−56

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q80−3q78 + 7q76−13q74 + 14q72−11q70−2q68 + 27q66−50q64 + 72q62−77q60 + 46q58 + 9q56−85q54 + 151q52−176q50 + 153q48−70q46−43q44 + 156q42−219q40 + 209q38−128q36 + 4q34 + 105q32−160q30 + 140q28−53q26−50q24 + 135q22−152q20 + 76q18 + 46q16−181q14 + 262q12−253q10 + 150q8 + 16q6−182q4 + 299q2−322 + 238q−2−86q−4−82q−6 + 199q−8−227q−10 + 171q−12−51q−14−60q−16 + 126q−18−121q−20 + 43q−22 + 66q−24−153q−26 + 181q−28−130q−30 + 27q−32 + 93q−34−177q−36 + 209q−38−172q−40 + 90q−42 + 7q−44−92q−46 + 132q−48−130q−50 + 97q−52−45q−54−3q−56 + 35q−58−51q−60 + 46q−62−32q−64 + 16q−66−2q−68−7q−70 + 8q−72−8q−74 + 5q−76−2q−78 + q−80

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 42"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−t3 + 7t2−19t + 27−19t−1 + 7t−2−t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−z6 + z4 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 81, 0 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

−q5 + 3q4−6q3 + 10q2−12q + 14−13q−1 + 10q−2−7q−3 + 4q−4−q−5

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

−z6 + 2a2z4 + 2z4a−2−3z4−a4z2 + 3a2z2 + 4z2a−2−z2a−4−5z2 + a2 + 3a−2−a−4−2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

az9 + z9a−1 + 4a2z8 + 3z8a−2 + 7z8 + 6a3z7 + 11az7 + 9z7a−1 + 4z7a−3 + 4a4z6 + 2z6a−2 + 3z6a−4−5z6 + a5z5−11a3z5−24az5−18z5a−1−5z5a−3 + z5a−5−7a4z4−10a2z4−11z4a−2−6z4a−4−8z4−a5z3 + 5a3z3 + 14az3 + 10z3a−1−2z3a−5 + 2a4z2 + 6a2z2 + 9z2a−2 + 4z2a−4 + 9z2−az−za−1 + za−3 + za−5−a2−3a−2−a−4−2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 42"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −t3 + 7t2−19t + 27−19t−1 + 7t−2−t−3, −q5 + 3q4−6q3 + 10q2−12q + 14−13q−1 + 10q−2−7q−3 + 4q−4−q−5 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_75,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q15−3q14 + q13 + 9q12−17q11 + q10 + 36q9−47q8−8q7 + 87q6−83q5−33q4 + 142q3−102q2−64q + 171−92q−1−82q−2 + 155q−3−59q−4−77q−5 + 105q−6−23q−7−53q−8 + 49q−9−2q−10−23q−11 + 13q−12 + 2q−13−4q−14 + q−15
3	−q30 + 3q29−q28−4q27−2q26 + 14q25 + 2q24−28q23−8q22 + 54q21 + 20q20−92q19−48q18 + 147q17 + 96q16−213q15−169q14 + 276q13 + 281q12−343q11−402q10 + 373q9 + 556q8−398q7−686q6 + 372q5 + 820q4−342q3−901q2 + 269q + 965−201q−1−966q−2 + 111q−3 + 933q−4−22q−5−861q−6−58q−7 + 750q−8 + 130q−9−621q−10−176q−11 + 478q−12 + 197q−13−338q−14−194q−15 + 221q−16 + 162q−17−123q−18−125q−19 + 62q−20 + 80q−21−21q−22−50q−23 + 8q−24 + 22q−25−8q−27−2q−28 + 4q−29−q−30
4	q50−3q49 + q48 + 4q47−3q46 + 5q45−17q44 + 6q43 + 24q42−13q41 + 12q40−70q39 + 19q38 + 101q37−17q36 + 10q35−238q34 + 19q33 + 311q32 + 79q31 + 21q30−675q29−135q28 + 698q27 + 487q26 + 220q25−1479q24−730q23 + 1067q22 + 1355q21 + 962q20−2441q19−1952q18 + 1001q17 + 2480q16 + 2420q15−3080q14−3536q13 + 252q12 + 3362q11 + 4275q10−3068q9−4903q8−964q7 + 3638q6 + 5911q5−2472q4−5610q3−2202q2 + 3290q + 6874−1547q−1−5539q−2−3141q−3 + 2454q−4 + 6992q−5−472q−6−4735q−7−3651q−8 + 1273q−9 + 6272q−10 + 567q−11−3343q−12−3599q−13 + 2q−14 + 4813q−15 + 1257q−16−1695q−17−2915q−18−935q−19 + 2990q−20 + 1333q−21−344q−22−1814q−23−1195q−24 + 1390q−25 + 896q−26 + 311q−27−791q−28−882q−29 + 436q−30 + 370q−31 + 355q−32−201q−33−428q−34 + 77q−35 + 75q−36 + 180q−37−12q−38−138q−39 + 7q−40−5q−41 + 51q−42 + 10q−43−28q−44 + q−45−5q−46 + 8q−47 + 2q−48−4q−49 + q−50
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